Mengenal Bentuk Akar
Rabu, 26 September 2018
Bentuk Akar,
Matematika,
Matematika SMA,
Matematika SMK,
Matematika SMP
Edit
Dari sekolah dasar kita sudah mengenal bentuk akar atau dalam bahan sekolah dasar penarikan akar. Umumnya di sekolah dasar kita diajarkan penarikan akar angkat dua dan akar pangkat tiga. Selanjutnya, menginjak Sekolah Menengah Pertama kita diajarkan akar pangkat lainnya yang lebih tinggi.
Lambang akar "$\sqrt{ }$" dipilih sebagai lambang untuk menyatakan akar sebab bentuknya menyerupai dengan bentuk "r" yang berasal dari kata radix. Radix sendiri dalam bahasa latin berarti akar kuadrat. Misalkan n bilangan bulat, a dan b yaitu bilangan real. Jika berlaku $b^{n} = a$ maka (b ialah akar pangkat n dari a.
misal bentuk akar dan bukan bentuk akar
$\sqrt{3}$ ialah bentuk akar sebab kalau ditarik akarnya akan menghasilkan bilangan irrasional
$\sqrt{4}$ bukan ialah bentuk akar sebab kalau ditarik akarnya akan menghasilkan 2 (bilangan rasional)
$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
dengan a dan b bilangan bundar positif.
Penyederhanaan bentuk akar sanggup dilakukan dengan cara mengubah bilangan dalam tanda akar menjadi bentuk perkalian dua bilangan. Salah satu bilangan ialah bilangan yang sanggup ditarik akarnya dan bilangan yang lain ialah bilangan terkecil dari faktor bilangan sebelumnya yang tidak ditarik akarnya secara langsung.
Untuk pola penyederhanaan bentuk akar, perhatikan pola soal diberikut
misal
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{1000} = \sqrt{100 \times 10} = 10\sqrt{10}$
$3\sqrt{72} = 3\sqrt{36 \times 2} = 3 \times 6\sqrt{2}$$ = 18\sqrt{2}$
$7\sqrt{50} = 7\sqrt{25 \times 2} = 7 \times 5\sqrt{2}$$ = 35\sqrt{2}$
Penjumlahan dan Pengurangan
Secara umum dua bentuk akar sanggup dijumlahkan dan dikurangkan apabila keduanya mempunyai bentuk akar yang sama
$a\sqrt[n]{c} + b\sqrt[n]{c} = (a + b)\sqrt[n]{c}$
$a\sqrt[n]{c} - b\sqrt[n]{c} = (a - b)\sqrt[n]{c}$
dengan a, b, c ialah bilangan rasional dan c $\geq$ 0
misal
Tentukan hasil operasi hitung bentuk akar diberikut
a. $\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$
b. $5\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$
c. $7\sqrt{5} + 2\sqrt{20} - \sqrt{125}$
Penyelesaian
a. $\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$$ = 3\sqrt{2}$
b. $5\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$$ = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$$ = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
c. $7\sqrt{5} + 2\sqrt{20} - \sqrt{125}$$= 7\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 5\sqrt{5}$$ = 6\sqrt{5}$
Perkalian dan Pembagian
Perkalian dan pinjaman pada dua bentuk akar sanggup dilakukan apabila keduanya mempunyai akar pangkat yang sama
$a\sqrt[n]{c} \times b\sqrt[n]{d} = ab\sqrt[n]{cd}$
$a\sqrt[n]{c} : b\sqrt[n]{d} = \dfrac{a\sqrt[n]{c}}{ b\sqrt[n]{d}}$$ = \dfrac{a}{b}\sqrt[n]{c}{d}$
dengan a, b, c dan d ialah bilangan rasional derta c $\geq$ 0 dan d $\geq$ 0
misal
Tentukan hasil dari operasi perkalian dan pinjaman bentuk akar diberikut
a. $25\sqrt[3]{4} \times 2\sqrt[3]{2}$
b. $243\sqrt[6]{12} : 27\sqrt[6]{3}$
Penyelesaian
a. $25\sqrt[3]{4} \times 2\sqrt[3]{2}$$ = 50\sqrt[3]{8}$
b. $243\sqrt[6]{12} : 27\sqrt[6]{3}$$ = 9\sqrt[6]{4}$
misal soal lainnya terkena operasi hitung pada bentuk akar
misal 1
Tentukan bentuk sederhana dari hasil operasi bentuk akar $(2\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 4)$!
Penyelesaian
$(2\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 4)$$ = 2\sqrt{9} - 8\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 20$
$ = 2\times3 - 3\sqrt{3} - 20$
$ = 6 - 3\sqrt{3} - 20$
$ = 6 - 3\sqrt{3} - 20$
$ = -14 - 3\sqrt{3}$
misal 2
Sebuah persegi panjang mempunyai panjang $(3\sqrt{3} + 5\sqrt{2})$ cm dan lebar $(2\sqrt{3} - \sqrt{2})$ cm. Luas persegi panjang tersebut yaitu ....cm$^{2}$
Penyelesaian
Luas = panjang $\times$ lebar
$=(3\sqrt{3} + 5\sqrt{2}) (2\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$=6\times3 - 3\sqrt{6} + 10\sqrt{6} - 5\times 2$
$=18 + 7\sqrt{6} - 10$
$=8 + 7\sqrt{6}$
Jadi, luas persegi panjang tersebut yaitu $8 + 7\sqrt{6}$ cm$^{2}$
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ dengan a > b
Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal diberikut!
misal
Sederhanakan bentuk akar diberikut!
a. $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
b. $\sqrt{5+\sqrt{24}}$
c. $\sqrt{8-\sqrt{60}}$
Penyelesaian
a. $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
Dalam hal ini kita akan mencari faktor dari 15 yang jumlahnya 8. Faktor yang didapat yaitu 5 dan 3 ( 5 x 3 = 15 dan 5 + 3 = 8)
$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$$ = \sqrt{(5 + 3)+2\sqrt{5\cdot3}}$
$= \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}}$
$=\sqrt{5}+\sqrt{3}$
b. $\sqrt{5+\sqrt{24}}$
Langkah pertama yang harus dilakukan untuk menjawaban soal di atas yaitu dengan menyebabkan bentuk tersebut ke dalam bentuk $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$
$\sqrt{5+\sqrt{24}}$$ = \sqrt{5+2\sqrt{6}}$ (ingat kembali penyederhanaan bentuk akar sebelumnya)
Selanjutnya dengan cara yang sama menyerupai soal nomor a diperoleh
$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$$ = \sqrt{(5 + 1)+2\sqrt{5\cdot1}}$
$= \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{1})^{2}}$
$=\sqrt{5}+\sqrt{1}$
$=\sqrt{5}+1$
c. $\sqrt{8-\sqrt{60}}$
$\sqrt{8-\sqrt{60}}$$ = \sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$
$ = \sqrt{(5 + 3)-2\sqrt{5\cdot3}}$
$= \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}}$
$=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
Selanjunya, dalam bentuk akar dikenal pula pecahan dengan penyebut bentuk akar. Bentuk menyerupai itu biasanya sanggup disederhanakan dengan mersaionalkan penyebut. Mengenai hal tersebut sanggup dibaca pada artikel 4 Hal yang Perlu Dipahami Dalam Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar. Demikianlah terkena, bentuk akar biar bermanfaa.
Lambang akar "$\sqrt{ }$" dipilih sebagai lambang untuk menyatakan akar sebab bentuknya menyerupai dengan bentuk "r" yang berasal dari kata radix. Radix sendiri dalam bahasa latin berarti akar kuadrat. Misalkan n bilangan bulat, a dan b yaitu bilangan real. Jika berlaku $b^{n} = a$ maka (b ialah akar pangkat n dari a.
$b = \sqrt[n]{a}$
Untuk n = 2 biasanya tidak ditulis
Bentuk Akar
Bentuk akar ialah akar-akar bilangan rasional yang risikonya bukan ialah bilangan rasional (irrasional). Bilangan rasional sendiri ialah bilangan yang sanggup ditetapkan dalam bentuk pecahan $\frac{a}{b}$ dengan a dan b bilangan bundar dan b $\neq$ 0. Sedangkan bilangan irrasional yaitu bilangan yang tidak sanggup ditetapkan dalam bentuk $\frac{a}{b}$ dengan a dan b bilangan bundar dan b $\neq$ 0.misal bentuk akar dan bukan bentuk akar
$\sqrt{3}$ ialah bentuk akar sebab kalau ditarik akarnya akan menghasilkan bilangan irrasional
$\sqrt{4}$ bukan ialah bentuk akar sebab kalau ditarik akarnya akan menghasilkan 2 (bilangan rasional)
Penyederhanaan Bentuk Akar
Bentuk akar sanggup disederhanakan menjadi bentuk akar yang lebih sederhana. Untuk menyederhanakan suatu bentuk akar, kita sanggup menggunkan sifat-sifat diberikut:$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
dengan a dan b bilangan bundar positif.
Penyederhanaan bentuk akar sanggup dilakukan dengan cara mengubah bilangan dalam tanda akar menjadi bentuk perkalian dua bilangan. Salah satu bilangan ialah bilangan yang sanggup ditarik akarnya dan bilangan yang lain ialah bilangan terkecil dari faktor bilangan sebelumnya yang tidak ditarik akarnya secara langsung.
Untuk pola penyederhanaan bentuk akar, perhatikan pola soal diberikut
misal
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{1000} = \sqrt{100 \times 10} = 10\sqrt{10}$
$3\sqrt{72} = 3\sqrt{36 \times 2} = 3 \times 6\sqrt{2}$$ = 18\sqrt{2}$
$7\sqrt{50} = 7\sqrt{25 \times 2} = 7 \times 5\sqrt{2}$$ = 35\sqrt{2}$
Operasi Hitung Pada Bentuk Akar
Pada bentuk akar kita sanggup menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan serta melaksanakan pertolongan. Untuk melaksanakan operasi hitung ada bentuk akar, kita harus mengetahui sifat-sifatnya sebagai diberikut:Penjumlahan dan Pengurangan
Secara umum dua bentuk akar sanggup dijumlahkan dan dikurangkan apabila keduanya mempunyai bentuk akar yang sama
$a\sqrt[n]{c} + b\sqrt[n]{c} = (a + b)\sqrt[n]{c}$
$a\sqrt[n]{c} - b\sqrt[n]{c} = (a - b)\sqrt[n]{c}$
dengan a, b, c ialah bilangan rasional dan c $\geq$ 0
misal
Tentukan hasil operasi hitung bentuk akar diberikut
a. $\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$
b. $5\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$
c. $7\sqrt{5} + 2\sqrt{20} - \sqrt{125}$
Penyelesaian
a. $\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$$ = 3\sqrt{2}$
b. $5\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$$ = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$$ = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
c. $7\sqrt{5} + 2\sqrt{20} - \sqrt{125}$$= 7\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 5\sqrt{5}$$ = 6\sqrt{5}$
Perkalian dan Pembagian
Perkalian dan pinjaman pada dua bentuk akar sanggup dilakukan apabila keduanya mempunyai akar pangkat yang sama
$a\sqrt[n]{c} \times b\sqrt[n]{d} = ab\sqrt[n]{cd}$
$a\sqrt[n]{c} : b\sqrt[n]{d} = \dfrac{a\sqrt[n]{c}}{ b\sqrt[n]{d}}$$ = \dfrac{a}{b}\sqrt[n]{c}{d}$
dengan a, b, c dan d ialah bilangan rasional derta c $\geq$ 0 dan d $\geq$ 0
misal
Tentukan hasil dari operasi perkalian dan pinjaman bentuk akar diberikut
a. $25\sqrt[3]{4} \times 2\sqrt[3]{2}$
b. $243\sqrt[6]{12} : 27\sqrt[6]{3}$
Penyelesaian
a. $25\sqrt[3]{4} \times 2\sqrt[3]{2}$$ = 50\sqrt[3]{8}$
b. $243\sqrt[6]{12} : 27\sqrt[6]{3}$$ = 9\sqrt[6]{4}$
misal soal lainnya terkena operasi hitung pada bentuk akar
misal 1
Tentukan bentuk sederhana dari hasil operasi bentuk akar $(2\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 4)$!
Penyelesaian
$(2\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 4)$$ = 2\sqrt{9} - 8\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 20$
$ = 2\times3 - 3\sqrt{3} - 20$
$ = 6 - 3\sqrt{3} - 20$
$ = 6 - 3\sqrt{3} - 20$
$ = -14 - 3\sqrt{3}$
misal 2
Sebuah persegi panjang mempunyai panjang $(3\sqrt{3} + 5\sqrt{2})$ cm dan lebar $(2\sqrt{3} - \sqrt{2})$ cm. Luas persegi panjang tersebut yaitu ....cm$^{2}$
Penyelesaian
Luas = panjang $\times$ lebar
$=(3\sqrt{3} + 5\sqrt{2}) (2\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$=6\times3 - 3\sqrt{6} + 10\sqrt{6} - 5\times 2$
$=18 + 7\sqrt{6} - 10$
$=8 + 7\sqrt{6}$
Jadi, luas persegi panjang tersebut yaitu $8 + 7\sqrt{6}$ cm$^{2}$
Penyederhanaan Bentuk Akar $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$ dan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$
Penyederhanaan bentuk akar $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$ dan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$ sanggup dilakukan dengan memanfaatkan sifat pangkat pada bentuk
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2} = (a + b) + 2\sqrt{ab}$ dan
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} = (a + b) - 2\sqrt{ab}$
Dari bentuk di atas diperoleh jika
$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ dengan a > b
Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal diberikut!
misal
Sederhanakan bentuk akar diberikut!
a. $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
b. $\sqrt{5+\sqrt{24}}$
c. $\sqrt{8-\sqrt{60}}$
Penyelesaian
a. $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
Dalam hal ini kita akan mencari faktor dari 15 yang jumlahnya 8. Faktor yang didapat yaitu 5 dan 3 ( 5 x 3 = 15 dan 5 + 3 = 8)
$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$$ = \sqrt{(5 + 3)+2\sqrt{5\cdot3}}$
$= \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}}$
$=\sqrt{5}+\sqrt{3}$
b. $\sqrt{5+\sqrt{24}}$
Langkah pertama yang harus dilakukan untuk menjawaban soal di atas yaitu dengan menyebabkan bentuk tersebut ke dalam bentuk $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$
$\sqrt{5+\sqrt{24}}$$ = \sqrt{5+2\sqrt{6}}$ (ingat kembali penyederhanaan bentuk akar sebelumnya)
Selanjutnya dengan cara yang sama menyerupai soal nomor a diperoleh
$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$$ = \sqrt{(5 + 1)+2\sqrt{5\cdot1}}$
$= \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{1})^{2}}$
$=\sqrt{5}+\sqrt{1}$
$=\sqrt{5}+1$
c. $\sqrt{8-\sqrt{60}}$
$\sqrt{8-\sqrt{60}}$$ = \sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$
$ = \sqrt{(5 + 3)-2\sqrt{5\cdot3}}$
$= \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}}$
$=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
Selanjunya, dalam bentuk akar dikenal pula pecahan dengan penyebut bentuk akar. Bentuk menyerupai itu biasanya sanggup disederhanakan dengan mersaionalkan penyebut. Mengenai hal tersebut sanggup dibaca pada artikel 4 Hal yang Perlu Dipahami Dalam Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar. Demikianlah terkena, bentuk akar biar bermanfaa.
0 Response to "Mengenal Bentuk Akar"
Posting Komentar