Menentukan Panjang Sabuk Lilitan Minimal Pada Lingkaran
Untuk memilih panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran, bahan yang harus dikuasai yaitu bahan garis singgung bundar serta rumus bundar lainnya mirip keliling dan panjang busur lingkaran. Biasanya soal-soal menyangkut panjang sabuk lilitan minimal pada bundar ini muncul pada soal ulangan kenaikan kelas atau soal ulangan selesai semester genap Sekolah Menengah Pertama kelas 8. Namun, dalam ujian nasional soal ini jarang muncul. Soal-soal mirip ini, biasanya juga muncul pada soal Olimpiade Matematika. Untuk soal Olimpiade, biasanya dibentuk dalam bentuk pengembangan soal yang cukup susah. Untuk itu perlu pemahaman dasar terkena cara memilih panjang sabuk lilitan minimal ini.
Gambar diatas ialah bentuk gambaran dari rantai yang melilit dua buah gear dengan ukuran yang tidak sama, sama mirip yang kita lihat pada sepeda maupun sepeda motor. Untuk menghitung panjang rantai tersebut, kita sanggup menghitungnya dengan membagi rantai kedalam beberapa bagian. Nah, kini perhatikan gambar diberikut.
Untuk menghitung panjang rantai maka kita sanggup menjumlahkan
Panjang busur besar PS + PQ + Panjang busur kecil QS + SR.
PQ dan SR ialah garis singgung komplotan luar dari dua bundar yang berpusat di A dan B. melaluiataubersamaini demikian, sesuai dengan kedudukan kedua bundar tersebut maka didapat panjang PQ = SR. Untuk panjang busur besar PS daat ditentukan dengan mengetahui sudut PAS yaitu $\alpha$ beserta jari-jari bundar A (R), sedangkan untuk panjang busur kecil QS sanggup ditentukan dengan mengetahui sudut sentra yang berhadapan dengan busur kecil QS yaitu $\alpha - 360^{o}$ serta jari-jari B (r). melaluiataubersamaini demikian, kalau p yaitu panjang rantai maka
p = 2PQ + Panjang Busur Besar PS + Panjang Busur Kecil SR
Dimana
$PQ = AB^{2} - (R - r)^{2}$
Panjang Busur Besar PS = $\frac{\alpha}{360^{o}} 2\pi R$
Panjang Busur Kecil SR = $\frac{360^{o}-\alpha}{360^{o}} 2\pi r$
Untuk lebih memahaminya perhatikan pola soal diberikut
misal
Perhatikan gambar diberikut!
Diketahui dua buah bundar yang berpusat di A dan B dengan jari-jari berturut-turut 22 cm dan 6 cm. Jika jarak kedua sentra bundar 65 cm dan besar sudut PAB = 80$^{o}$, hitunglah panjang tali yang melilit kedua lingkaran!
Penyelesaian
PQ = $\sqrt{AB^{2} - (AP - BQ)^{2}}$
PQ = $\sqrt{65^{2} - (22 - 6)^{2}}$
PQ = $\sqrt{4225 - 256}$
PQ = $\sqrt{3969}$
PQ = 63 cm
$\alpha = 360^{o} - 2(80^{o}) = 200^{o}$
Panjang Busur Besar PS = $\frac{200^{o}}{360^{o}} \times 2 \times 3,14 \times 22$
Panjang Busur Besar PS = 76,76 cm
Panjang Busur Kecil SR = $\frac{360^{o}-200^{o}}{360^{o}} \times 2 \times 3,14 \times 6$
Panjang Busur Kecil SR = 16,75 cm
p = 2(63) + 76,76 + 16,75 = 219,51 cm
Jadi, panjang tali yang melilit kedua bundar = 219,51 cm
Keliling bundar (K) = $2 \pi r$ atau
Keliling bundar (K) = $\pi d$
Diameter (d) = 2r
Untuk memilih panjang sabuk lilitan minimal pada bundar (p) perhatikan dua masalah diberikut
Kasus 1
Perhatikan gambar
Untuk menetukan panjang sabuk yang melilit dua bundar di atas sanggup ditentukan dengan
$p = d + d + \frac{1}{2} Keliling Lingkaran + \frac{1}{2} Keliling Lingkaran $
$p = 2d + Keliling Lingkaran $
$p = 2d + \pi d $
Kasus 2
Perhatikan gambar
Tiga bundar identik disusun mirip bentuk segitiga. Untuk menghitung panjang sabuk yang melilit ketiga bundar sanggup dilakukan dengan menjumlahkan panjang PQ, RS, TU, panjang busur kecil PU, panjang busur kecil QR, dan panjang busur kecil ST. PQ = RS = TU = d dan dengan menghubungkan pusat-pusat bundar maka diperoleh segitiga sama sisi ABC dengan masing-masing sudutnya 60$^{o}$. Sudut PUA sanggup ditentukan dengan
$\angle PUA = 360^{o} - 90^{o} - 60^{o} - 90^{o}$
$\angle PUA = 120^{o}$
Karena tiga bundar kongruen, maka $\angle PUA = \angle QBR = \angle TCS = 120^{o}$.
melaluiataubersamaini demikian panjang sabuk sanggup ditentukan dengan
$p = 3d + P. Busur kecil PU + P. Busur kecil QR + P. Busur kecil ST$
$p = 3d + \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d + \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d + \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d$
$p = 3d + \frac{360^{o}}{360^{o}}\pi d $
$p = 3d + \pi d $
melaluiataubersamaini melaksanakan hal yang sama pada kasus-kasus lainnya kita sanggup memilih panjang sabuk lilitan. Dari dua masalah di atas diperoleh bahwa setiap tali/sabuk melewati dua bundar maka panjangnya sama dengan diameter lingkaran. Panjang sabuk/tali yang mengikuti busur bundar jumlahnya sama dengan satu keliling bundar (harus dianalisis terlebih lampau)
$p = nd + \pi d$
melaluiataubersamaini
p = panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran
n = banyaknya sabuk yang panjangnya sama dengan diameter
d = diameter lingkaran
Penting!
Perlu diingat bahwa, penerapan rumus di atas spesialuntuk sanggup dipakai pada soal-soal yang melibatkan lingkaran-lingkaran yang sama atau mempunyai jari-jari yang sama serta sudah sanggup dipastikan bahwa panjang sabuk/tali yang melewati busur bundar jumlahnya sama dengan satu keliling lingkaran
Untuk penerapan rumus cepat di atas perhatikan pola soal diberikut!
misal
Diketahui dua buah bundar dengan jari-jari yang sama yaitu 14 cm diikat dengan seutas tali. Tentukan panjang tali minimal yang dipakai untuk mengikat kedua lingkaran!
Penyelesaian
Perhatikan, pada gambar terdapat dua panjang tali yang panjangnya sama dengan diameter. Sehingga n = 2 dan d = 28
$p = 2d + \pi d$
$p = 2(28) + \frac{22}{7} \times 28$
$p = 56 + 88$
$p = 144 cm$
Jadi, panjang tali minimal yang dipakai untuk mengikat kedua bundar = 144 cm
misal
Tiga buah pipa dengan ukuran yang disusun dan diikat memakai sebuah tali, sehingga susunannya mirip segitiga. Apabila jari-jari pipa 7 cm, tentukan panjang tali yang dipakai untuk mengikat pipa-pipa tersebut!
Penyelesaian
n = 6
d = 14 cm
$p = 3d + \pi d$
$p = 3(14) + \frac{22}{7} \times 14$
$p = 42 + 44$
$p = 86 cm$
Jadi, panjang tali yang dipakai untuk mengikat pipa-pipa tersebut = 86 cm
misal
Lima buah drum disusun sedemikan, sehingga sanggup digambarkan mirip gambar di bawah ini!
Apabila, drum-drum tersebut akan diikat dengan memakai kawat. Tentukan panjang kawat minimal yang diharapkan untuk mengikat drum tersebut, kalau diketahui diameter drum 50 cm!
Penyelesaian
Soal di atas tentunya mempunyai penyelesaian tidak sama dari dua soal sebelumnya. Untuk memilih panjang kawat, perhatikanlah gambar di bawah
Panjang kawat sanggup ditentukan dengan menjumlahkan panjang PQ, panjang RS, dan panjang TU. Panjang TU = 3d sementara panjang PQ = RS = AC = BC. Panjang AC sanggup ditentukan dengan memakai pythagoras, namun terlebih lampau kita harus memilih panjang CD
$CD = \sqrt{d^{2} - r^2}$
$CD = \sqrt{50^{2} - {25}^2}$
$CD = \sqrt{1875}$
$CD = 25\sqrt{3}$
AD = 75 cm
$AC = \sqrt{AD^{2}+CD^{2}}$
$AC = \sqrt{75^{2}+1875}$
$AC = \sqrt{5625+1875}$
$AC = \sqrt{7500}$
$AC = 50\sqrt{3}$
$p = 2AC + TU + \pi d$
Panjang Rantai yang Melilit Pada Dua Gear
Pertama akan dibahas terkena cara menghitung panjang rantai yang melilit dua gear. misal konkret yang sanggup kita lihat dalam kehidupan sehari-hari yaitu pada rantai sepeda maupun sepeda motor. Dalam masalah ini kita akan mencoba menghitung panjang rantai dengan memakai konsep garis singgung dan panjang busur lingkaran. Sebagai gambaran perhatikan gambar diberikut
Gambar diatas ialah bentuk gambaran dari rantai yang melilit dua buah gear dengan ukuran yang tidak sama, sama mirip yang kita lihat pada sepeda maupun sepeda motor. Untuk menghitung panjang rantai tersebut, kita sanggup menghitungnya dengan membagi rantai kedalam beberapa bagian. Nah, kini perhatikan gambar diberikut.
Untuk menghitung panjang rantai maka kita sanggup menjumlahkan
Panjang busur besar PS + PQ + Panjang busur kecil QS + SR.
PQ dan SR ialah garis singgung komplotan luar dari dua bundar yang berpusat di A dan B. melaluiataubersamaini demikian, sesuai dengan kedudukan kedua bundar tersebut maka didapat panjang PQ = SR. Untuk panjang busur besar PS daat ditentukan dengan mengetahui sudut PAS yaitu $\alpha$ beserta jari-jari bundar A (R), sedangkan untuk panjang busur kecil QS sanggup ditentukan dengan mengetahui sudut sentra yang berhadapan dengan busur kecil QS yaitu $\alpha - 360^{o}$ serta jari-jari B (r). melaluiataubersamaini demikian, kalau p yaitu panjang rantai maka
p = 2PQ + Panjang Busur Besar PS + Panjang Busur Kecil SR
Dimana
$PQ = AB^{2} - (R - r)^{2}$
Panjang Busur Besar PS = $\frac{\alpha}{360^{o}} 2\pi R$
Panjang Busur Kecil SR = $\frac{360^{o}-\alpha}{360^{o}} 2\pi r$
Untuk lebih memahaminya perhatikan pola soal diberikut
misal
Perhatikan gambar diberikut!
Penyelesaian
PQ = $\sqrt{AB^{2} - (AP - BQ)^{2}}$
PQ = $\sqrt{65^{2} - (22 - 6)^{2}}$
PQ = $\sqrt{4225 - 256}$
PQ = $\sqrt{3969}$
PQ = 63 cm
$\alpha = 360^{o} - 2(80^{o}) = 200^{o}$
Panjang Busur Besar PS = $\frac{200^{o}}{360^{o}} \times 2 \times 3,14 \times 22$
Panjang Busur Besar PS = 76,76 cm
Panjang Busur Kecil SR = $\frac{360^{o}-200^{o}}{360^{o}} \times 2 \times 3,14 \times 6$
Panjang Busur Kecil SR = 16,75 cm
p = 2(63) + 76,76 + 16,75 = 219,51 cm
Jadi, panjang tali yang melilit kedua bundar = 219,51 cm
Panjang Sabuk Lilitan Minimal Pada Lingkaran
Pada bab sebelumny, spesialuntuk akan didapatkan masalah-masalah yang melibatkan dua bundar saja. Sedangkan kali ini, akan dijumpai masalah-masalah yang mungkin akan melibatkan lebih dari dua lingkaran. Untuk memilih panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran, ada beberapa rumus yang harus dikuasai terlebih lampau yaituKeliling bundar (K) = $2 \pi r$ atau
Keliling bundar (K) = $\pi d$
Diameter (d) = 2r
Untuk memilih panjang sabuk lilitan minimal pada bundar (p) perhatikan dua masalah diberikut
Kasus 1
Perhatikan gambar
$p = d + d + \frac{1}{2} Keliling Lingkaran + \frac{1}{2} Keliling Lingkaran $
$p = 2d + Keliling Lingkaran $
$p = 2d + \pi d $
Kasus 2
Perhatikan gambar
$\angle PUA = 360^{o} - 90^{o} - 60^{o} - 90^{o}$
$\angle PUA = 120^{o}$
Karena tiga bundar kongruen, maka $\angle PUA = \angle QBR = \angle TCS = 120^{o}$.
$p = 3d + P. Busur kecil PU + P. Busur kecil QR + P. Busur kecil ST$
$p = 3d + \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d + \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d + \frac{120^{o}}{360^{o}}\pi d$
$p = 3d + \frac{360^{o}}{360^{o}}\pi d $
$p = 3d + \pi d $
melaluiataubersamaini melaksanakan hal yang sama pada kasus-kasus lainnya kita sanggup memilih panjang sabuk lilitan. Dari dua masalah di atas diperoleh bahwa setiap tali/sabuk melewati dua bundar maka panjangnya sama dengan diameter lingkaran. Panjang sabuk/tali yang mengikuti busur bundar jumlahnya sama dengan satu keliling bundar (harus dianalisis terlebih lampau)
Rumus Cepat
Dari cara di atas kita memperoleh rumus cepat untuk memilih panjang sabuk lilitan minimal yaitu$p = nd + \pi d$
melaluiataubersamaini
p = panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran
n = banyaknya sabuk yang panjangnya sama dengan diameter
d = diameter lingkaran
Penting!
Perlu diingat bahwa, penerapan rumus di atas spesialuntuk sanggup dipakai pada soal-soal yang melibatkan lingkaran-lingkaran yang sama atau mempunyai jari-jari yang sama serta sudah sanggup dipastikan bahwa panjang sabuk/tali yang melewati busur bundar jumlahnya sama dengan satu keliling lingkaran
Untuk penerapan rumus cepat di atas perhatikan pola soal diberikut!
misal
Diketahui dua buah bundar dengan jari-jari yang sama yaitu 14 cm diikat dengan seutas tali. Tentukan panjang tali minimal yang dipakai untuk mengikat kedua lingkaran!
Perhatikan, pada gambar terdapat dua panjang tali yang panjangnya sama dengan diameter. Sehingga n = 2 dan d = 28
$p = 2d + \pi d$
$p = 2(28) + \frac{22}{7} \times 28$
$p = 56 + 88$
$p = 144 cm$
Jadi, panjang tali minimal yang dipakai untuk mengikat kedua bundar = 144 cm
misal
Tiga buah pipa dengan ukuran yang disusun dan diikat memakai sebuah tali, sehingga susunannya mirip segitiga. Apabila jari-jari pipa 7 cm, tentukan panjang tali yang dipakai untuk mengikat pipa-pipa tersebut!
n = 6
d = 14 cm
$p = 3d + \pi d$
$p = 3(14) + \frac{22}{7} \times 14$
$p = 42 + 44$
$p = 86 cm$
Jadi, panjang tali yang dipakai untuk mengikat pipa-pipa tersebut = 86 cm
misal
Lima buah drum disusun sedemikan, sehingga sanggup digambarkan mirip gambar di bawah ini!
Penyelesaian
Soal di atas tentunya mempunyai penyelesaian tidak sama dari dua soal sebelumnya. Untuk memilih panjang kawat, perhatikanlah gambar di bawah
$CD = \sqrt{d^{2} - r^2}$
$CD = \sqrt{50^{2} - {25}^2}$
$CD = \sqrt{1875}$
$CD = 25\sqrt{3}$
AD = 75 cm
$AC = \sqrt{AD^{2}+CD^{2}}$
$AC = \sqrt{75^{2}+1875}$
$AC = \sqrt{5625+1875}$
$AC = \sqrt{7500}$
$AC = 50\sqrt{3}$
$p = 2AC + TU + \pi d$
$p = 2(50\sqrt{3})+ 3(50) + 3,14 \times 50$
$p = 100\sqrt{3}+ 150 + 157$
$p = (100\sqrt{3}+ 307)$ cm
Jadi, panjang kawat minimal yang diharapkan untuk mengikat drum tersebut = $(100\sqrt{3}+ 307)$cm
$p = 100\sqrt{3}+ 150 + 157$
$p = (100\sqrt{3}+ 307)$ cm
Jadi, panjang kawat minimal yang diharapkan untuk mengikat drum tersebut = $(100\sqrt{3}+ 307)$cm
Demikianlah terkena cara panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran. Soal-soal di atas spesialuntuk mengulas terkena dasar-dasar cara menetukan panjang sabuk lilitan minimal pada lngkaran yang sanggup dipakai sebagai dasar pengetahuan didalam memilih soal-soal dengan tingkat kesusahan yang lebih tinggi mirip soal-soal Olimpiade. Semoga pembahasan di atas sanggup bermanfaa.
0 Response to "Menentukan Panjang Sabuk Lilitan Minimal Pada Lingkaran"
Posting Komentar