Nilai Maksimum Dan Minimum Suatu Fungsi Dalam Interval Tertutup
Perhatikan roket yang ditembakkan dari suatu tempat, lintasan roket terlihat ibarat kurva. Saat waktu t tertentu roket mencapai ketinggian h maksimum. Jika melihat bentuk lintasan tersebut, untuk memilih nilai t dan h roket biar mencapai tinggi yang maksimum akan sama halnya ibarat mencari nilai stasioner dalam hal ini nilai balik maksimum. Nah, dalam artikel kali ini kita akan mengulas terkena masalah-masalah ibarat di atas yang dikemas dalam bahan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam interval tertutup.
Nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi dalam hal ini kurang lebih sanggup diartikan nilai yang terbesar dan terkecil fungsi tersebut dalam interval tertutup tertentu. Sedangkan, yang dimaksud dengan interval tertutup yakni interval dengan batas yang termasuk dalam interior point. Jika interval terbuka memakai tanda ketaksamaan (> atau <) tanpa sama dengan, maka dalam interval tertutup tanda ketaksamaan yang dipakai memakai sama dengan $(\leq $atau$\geq)$.
Dalam memilih nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada kurva tertutup tertentu belum tentu nilai maksimum atau minimumnya ialah nilai stasionernya. Nilai stasioner suatu fungsi dalam kurva tertutup tertentu sanggup diperoleh dari dua kemungkinan, yaitu dari nilai-nilai stasionernya atau dari nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval tertutup itu
Untuk menentukkan nilai maksimum dan nilai minmum suatu fungsi $f$ dalam suatu interval tertutup, sanggup dilakukan dengan mengambil langkah-langkah sebagai diberikut
Langkah 1
Menentukan nilai stasioner apabila stationer dicapai pada x di dalam interval.
Langkah 2
Menentukan nilai fungsi pada batas-batas/ujung-ujung interval.
Langkah 3
Menentukan nilai maksimum dan minimum menurut hasil dari langkah 1 dan langkah 2.
Nantinya, nilai maksimumnya ialah nilai yang terbesar dari fungsi $f$ dan nilai minimum ialah nilai yang terkecil dari fungsi $f$. Agar sanggup memahaminya dengan baik diberikut ini akan disajikan teladan soal terkena nilai maksimum dan minimum suatu fungsi beserta pembahasannya.
misal 1
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $f = x^2 - 4x$ dalam interval $-2 \leq x \leq 0$!
Penyelesaian
$f = x^2 - 4x$
$f' = 2x - 4$
$f(x) = 2x - 4$
$f'(x) = 0$
$2x - 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$
Langkah 1
Nilai stasioner
Dilihat nilai x = 2, tidak ada dalam interval $-2 \leq x \leq 0$
$f (2)= 2^2 - 4(2) = -4$
Langkah 2
Nilai fungsi pada batas-batas interval
$f(-2)= (-2)^2 - 4(-2) = 12$
$f(0) = 0^2 - 4(0) = 0$
Langkah 3
Jadi, nilai maksimumnya yakni 12 dan minimumnya yakni 0 atau ($0 \leq x \leq 12$)
misal 2
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ dalam interval $-2 \leq x \leq 3$!
Penyelesaian
$f (x)= 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$
$f'(x) = 6x^2 - 6x^2 - 12$
$f'(x) = 0$
$6x^2 - 6x^2 - 12 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0 $
$(x + 1)(x - 2) = 0$
$x = -1$ atau $x = 2$
Langkah 1
Nilai stasioner
x = -1 dan x = 2 terletak pada interval $-2 \leq x \leq 3$
$f (-1)= 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 1$ $= -2 - 3 + 12 + 1 = 8$
$f (2)= 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 1$ $ = 16 - 12 - 24 + 1 = -19$
Langkah 2
Nilai fungsi pada batas-batas interval $-2 \leq x \leq 3
$f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 12(-2) + 1$ $= -16 - 12 + 24 + 1 = -3$
$f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 12(3) + 1$ $= 54 - 27 - 36 + 1 = -8$
Langkah 3
Dilihat dari langkah 1 dan 2,
Jadi, nilai maksimumnya 8 dan nilai minimunnya yakni -19
Penerapan nilai maksimum dan minimum sanggup juga kita jumpai pada mata pelajaran lain ibarat Fisika, Kimia, dan Ekonomi atau dalam bahkan dalam kehidupan sehari-hari. Biasanya, nilai maksimum dan minimumnya didapat dari nilai stasioner (nilai balik maksimum atau nilai balik minimum). Berikut ini ialah teladan soal nilai maksimum dan minimum dalam kehidupan sehari-hari.
misal 3
Sebuah peluru ditembakan ke atas, dalam waktu t detik tinggi peluru sanggup dirumuskan dengan $h(t) = 400t - 5t^2$ dalam satuan meter. Tentukanlah nilai t biar tinggi peluru maksimum dan tentukanlah nilai h maksimum tersebut!
Penyelesaian
$h(t) = 400t - 5t^2$
$h'(t) = 400 - 10t$
Agar h maksimum, maka $h'(x) = 0$
$h'(t) = 0$
$400 - 10t = 0$
$10t = 400$
$t = 40$
Nilai h maksimum apabila t = 40
$h(t) = 400(40) - 5(40)^2 = 16000 - 9000 = 7000$
Jadi, nilai t biar tinggi peluru maksimum yakni t = 40 s dengan ketinggian mencapai 7000 m
misal 4
Jumlah dua bilangan x dan y yakni 20, hasil kalinya p. Tentukan hasil yang terbesarnya!
Penyelesaian
$x + y = 20 \to y = 20 - x$
$p = x \cdot y$
Ubah fungsi p dalam x menjadi
$f(x) = x(20 - x)$
$f(x) = 20x - x^2$
$f'(x) = 20 - 2x$
Agar hasil kalinya maksimum maka $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$20 - 2x = 0$
$2x = 20$
$x = 10$
Hasil kali terbesarnya adalah
$f(10) = 10(20 - 10) = 100$
Jadi, hasil kali terbesarnya yakni 20
misal 5
Suatu kebun akan dipagari kawat berduri, panjang kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kebun berbentuk persegi panjang. Tentukan ukuran kolam biar terdapat luas yang maksimum dan berapa luas maksimum itu!
Nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi dalam hal ini kurang lebih sanggup diartikan nilai yang terbesar dan terkecil fungsi tersebut dalam interval tertutup tertentu. Sedangkan, yang dimaksud dengan interval tertutup yakni interval dengan batas yang termasuk dalam interior point. Jika interval terbuka memakai tanda ketaksamaan (> atau <) tanpa sama dengan, maka dalam interval tertutup tanda ketaksamaan yang dipakai memakai sama dengan $(\leq $atau$\geq)$.
Dalam memilih nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada kurva tertutup tertentu belum tentu nilai maksimum atau minimumnya ialah nilai stasionernya. Nilai stasioner suatu fungsi dalam kurva tertutup tertentu sanggup diperoleh dari dua kemungkinan, yaitu dari nilai-nilai stasionernya atau dari nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval tertutup itu
Untuk menentukkan nilai maksimum dan nilai minmum suatu fungsi $f$ dalam suatu interval tertutup, sanggup dilakukan dengan mengambil langkah-langkah sebagai diberikut
Langkah 1
Menentukan nilai stasioner apabila stationer dicapai pada x di dalam interval.
Langkah 2
Menentukan nilai fungsi pada batas-batas/ujung-ujung interval.
Langkah 3
Menentukan nilai maksimum dan minimum menurut hasil dari langkah 1 dan langkah 2.
Nantinya, nilai maksimumnya ialah nilai yang terbesar dari fungsi $f$ dan nilai minimum ialah nilai yang terkecil dari fungsi $f$. Agar sanggup memahaminya dengan baik diberikut ini akan disajikan teladan soal terkena nilai maksimum dan minimum suatu fungsi beserta pembahasannya.
misal 1
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $f = x^2 - 4x$ dalam interval $-2 \leq x \leq 0$!
Penyelesaian
$f = x^2 - 4x$
$f' = 2x - 4$
$f(x) = 2x - 4$
$f'(x) = 0$
$2x - 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$
Langkah 1
Nilai stasioner
Dilihat nilai x = 2, tidak ada dalam interval $-2 \leq x \leq 0$
$f (2)= 2^2 - 4(2) = -4$
Langkah 2
Nilai fungsi pada batas-batas interval
$f(-2)= (-2)^2 - 4(-2) = 12$
$f(0) = 0^2 - 4(0) = 0$
Langkah 3
Jadi, nilai maksimumnya yakni 12 dan minimumnya yakni 0 atau ($0 \leq x \leq 12$)
misal 2
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ dalam interval $-2 \leq x \leq 3$!
Penyelesaian
$f (x)= 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$
$f'(x) = 6x^2 - 6x^2 - 12$
$f'(x) = 0$
$6x^2 - 6x^2 - 12 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0 $
$(x + 1)(x - 2) = 0$
$x = -1$ atau $x = 2$
Langkah 1
Nilai stasioner
x = -1 dan x = 2 terletak pada interval $-2 \leq x \leq 3$
$f (-1)= 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 1$ $= -2 - 3 + 12 + 1 = 8$
$f (2)= 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 1$ $ = 16 - 12 - 24 + 1 = -19$
Langkah 2
Nilai fungsi pada batas-batas interval $-2 \leq x \leq 3
$f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 12(-2) + 1$ $= -16 - 12 + 24 + 1 = -3$
$f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 12(3) + 1$ $= 54 - 27 - 36 + 1 = -8$
Langkah 3
Dilihat dari langkah 1 dan 2,
Jadi, nilai maksimumnya 8 dan nilai minimunnya yakni -19
Penerapan nilai maksimum dan minimum sanggup juga kita jumpai pada mata pelajaran lain ibarat Fisika, Kimia, dan Ekonomi atau dalam bahkan dalam kehidupan sehari-hari. Biasanya, nilai maksimum dan minimumnya didapat dari nilai stasioner (nilai balik maksimum atau nilai balik minimum). Berikut ini ialah teladan soal nilai maksimum dan minimum dalam kehidupan sehari-hari.
misal 3
Sebuah peluru ditembakan ke atas, dalam waktu t detik tinggi peluru sanggup dirumuskan dengan $h(t) = 400t - 5t^2$ dalam satuan meter. Tentukanlah nilai t biar tinggi peluru maksimum dan tentukanlah nilai h maksimum tersebut!
Penyelesaian
$h(t) = 400t - 5t^2$
$h'(t) = 400 - 10t$
Agar h maksimum, maka $h'(x) = 0$
$h'(t) = 0$
$400 - 10t = 0$
$10t = 400$
$t = 40$
Nilai h maksimum apabila t = 40
$h(t) = 400(40) - 5(40)^2 = 16000 - 9000 = 7000$
Jadi, nilai t biar tinggi peluru maksimum yakni t = 40 s dengan ketinggian mencapai 7000 m
misal 4
Jumlah dua bilangan x dan y yakni 20, hasil kalinya p. Tentukan hasil yang terbesarnya!
Penyelesaian
$x + y = 20 \to y = 20 - x$
$p = x \cdot y$
Ubah fungsi p dalam x menjadi
$f(x) = x(20 - x)$
$f(x) = 20x - x^2$
$f'(x) = 20 - 2x$
Agar hasil kalinya maksimum maka $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$20 - 2x = 0$
$2x = 20$
$x = 10$
Hasil kali terbesarnya adalah
$f(10) = 10(20 - 10) = 100$
Jadi, hasil kali terbesarnya yakni 20
misal 5
Suatu kebun akan dipagari kawat berduri, panjang kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kebun berbentuk persegi panjang. Tentukan ukuran kolam biar terdapat luas yang maksimum dan berapa luas maksimum itu!
Penyelesaian
$2(p + l) = 400$
$p + l = 200$
$l = 200 - p$
$L(p) = p \cdot l$
$L(p) = p(200 - p)$
$L(p) = 200p - p^2$
$L'(p) = 200 - 2p$
Agar luasnya maksimum maka $L'(p) = 0$
$L'(p) = 0$
$200 - 2p = 0$
$2p = 200$
$p = 100$
Untuk $p = 100$, maka didapat
$l = 200 - p$
$l = 200 - 100$
$l = 100$
Luasnya,
$L(p) = p \cdot l = 100 \cdot 100 = 10000$
Jadi, ukuran kolam p = 100 m dan l = 100 m dengan luas maksimum 10000 m$^2$
Demikianlah terkena nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam interval tertutup, semoga bermanfaa dan sanggup dipahami.
$2(p + l) = 400$
$p + l = 200$
$l = 200 - p$
$L(p) = p \cdot l$
$L(p) = p(200 - p)$
$L(p) = 200p - p^2$
$L'(p) = 200 - 2p$
Agar luasnya maksimum maka $L'(p) = 0$
$L'(p) = 0$
$200 - 2p = 0$
$2p = 200$
$p = 100$
Untuk $p = 100$, maka didapat
$l = 200 - p$
$l = 200 - 100$
$l = 100$
Luasnya,
$L(p) = p \cdot l = 100 \cdot 100 = 10000$
Jadi, ukuran kolam p = 100 m dan l = 100 m dengan luas maksimum 10000 m$^2$
Demikianlah terkena nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam interval tertutup, semoga bermanfaa dan sanggup dipahami.
0 Response to "Nilai Maksimum Dan Minimum Suatu Fungsi Dalam Interval Tertutup"
Posting Komentar