Pengertian Minor, Kofaktor, Matriks Kofaktor, Dan Adjoin Matriks

Dalam matriks dikenal beberapa istilah menyerupai minor, kofaktor dan adjoin matriks. Istilah-istilah ini akan sering kita temukan kalau sedang mempelajari determinan dan invers suatu matriks. Determinan sanggup ditentukan apabila suatu matriks ialah matriks persegi dan suatu matriks persegi akan mempunyai invers apabila determinannya tidak sama dengan nol (0).

Dalam memilih suatu determinan kita harus memilih minor dan kofaktor matriks tersebut kecuali, matriks tersebut ialah matriks persegi dengan ordo 1 x 1 yang determinannya yakni elemenya sendiri. Sebagai pola matriks A = [-2] maka determinan matriks A yakni -2. Sesudah mendapat minor dan kofaktonya selanjutnya kita tentukan perluasan yang akan kita gunakan, sehingga diperoleh determinan matriks tersebut.

Minor dan kofaktor juga dibutuhkan dalam memilih invers suatu matriks persegi. Selain dipakai untuk memilih determinan, minor dan kofaktor dipakai untuk memilih Matriks Kofaktor dan Adjoin matriks itu sendiri. Nah Apa itu Minor, Kofaktor, dan Adjoin serta bagaimana cara memilih Minor, Kofaktor, dan Adjoin itu? Berikut ini yakni ulasan singkatnya

Pengertian Minor 

Minor suatu matriks 𝐴 dilambangkan dengan 𝑀𝑖j yakni determinan matriks bab dari matriks 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen – elemennya pada baris ke-𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑗. melaluiataubersamaini demikian untuk matriks 1 x 1, kita tidak sanggup mendapat minornya. Minor kita sanggup dapatkan pada matriks persegi 2 x 2, 3 x 3, dan seterusnya. Jumlah minor dari suatu matriks mengikuti jumlah elemenya, jadi pada matriks 2 x 2 akan terdapat 4 minor yaitu $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{21}$, dan $M_{22}$. Sedangkan pada matriks 3 x 3 maka akan terdapat 9 minor yaitu $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{13}$, $M_{21}$, $M_{22}$, $M_{23}$, $M_{31}$, $M_{32}$, dan $M_{33}$.

Untuk lebih jelasnya, diberikut yakni pola cara mencari minor matriks persegi 2 x 2 dan matriks persegi 3 x 3.

misal 1
Tentukan tiruana minor matriks $A = \begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
4 & -5
\end{bmatrix}$!
Jawab
Ingat bahwa 𝑀𝑖j yakni determinan matriks bab dari matriks 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen – elemennya pada baris ke-𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑗. Jadi, apabila yang kita cari yakni $M_{11}$ maka kita harus menghilangkan elemen baris pertama dan kolom pertama dan tersisalah satu elemen yaitu -5. Teknik yang sama berlaku juga untuk minor selanjutnya.
$M_{11}$ = |-5| = -5
$M_{12}$ = |4| = 4
$M_{21}$ = |3| = 3
$M_{22}$ = |-1| = -1Catatan: tanda "| ...|" dalam hal ini ialah notasi determinan bukan harga mutlak.

misal 2
Tentukan tiruana minor matriks $B = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -3\\
 6 & 4 & 5\\
1 & -2 & 3
\end{bmatrix}$!
Jawab
melaluiataubersamaini cara yang sama menyerupai sebelumnya kita akan mendapat tiruana minor matriks B. Minor untuk matriks persegi 3 x 3 akan berupa determinan matriks 2 x 2.
$M_{11} = \begin{vmatrix}
4 & 5 \\
-2 & 3
\end{vmatrix}= 12 - (-10) = 22$
$M_{12} = \begin{vmatrix}
6 & 5 \\
1 & 3
\end{vmatrix}= 18 - 5 = 13$
$M_{13} = \begin{vmatrix}
6 & 4 \\
1 & -2
\end{vmatrix}= -12 - 4 = -16$
$M_{21} = \begin{vmatrix}
1 & -3 \\
-2 & 3
\end{vmatrix}= 3 - 6 = -3$
$M_{22} = \begin{vmatrix}
2 & -3 \\
1 & 3
\end{vmatrix}= 6 - (-3) = 9$
$M_{23} = \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & -2
\end{vmatrix}= -4 - 1 = -5$
$M_{31} = \begin{vmatrix}
1 & -3 \\
4 & 5
\end{vmatrix}= 5 - (-12) = 17$
$M_{32} = \begin{vmatrix}
2 & -3 \\
6 & 5
\end{vmatrix}= 10 - (-18) = 28$
$M_{33} = \begin{vmatrix}
2& 1 \\
6& 4
\end{vmatrix}= 8 - 6 = 2$

Pengertian Kofaktor

Kofaktor yakni hasil perkalian minor dengan suatu angka yang besarnya menuruti suatu hukum yaitu (-1)$^{i+j}$ dimana i yakni baris dan j yakni kolom. Kofaktor suatu elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 dari matriks A dilambangkan dengan Cij.

Cij = (-1)$^{i+j}$ Mij

Sama menyerupai minor jumlah kofaktor suatu matriks mengikuti jumlah elemen matriks tersebut. Untuk pola saya akan melanjutkan pola 1 dan pola 2 yang minornya sudah ditentukan sebelumnya

misal 1 (lanjutan)
Tentukan tiruana kofaktor dari matriks $A = \begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
4 & -5
\end{bmatrix}$!
Jawab
Karena minornya sudah dicari sebelumnya yaitu
$M_{11}$ = -5
$M_{12}$ = 4
$M_{21}$ = 3
$M_{22}$ = -1
Jadi, kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah
Cij = (-1)$^{i+j}$ Mij
$C_{11} = (-1)^{1+1} (-5) = -5$
$C_{12} = (-1)^{1+2} (4) = -4$
$C_{21} = (-1)^{2+1} (3) = -3$
$C_{22} = (-1)^{2+2} (-1) = -1$
misal 2 (lanjutan)
Tentukan tiruana kofaktor matriks $B = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -3\\
6 & 4 & 5\\
1 & -2 & 3
\end{bmatrix}$!
Jawab
Minor-minor matriks B (sudah dicari sebelumnya)
$M_{11} = 22$
$M_{12} = 13$
$M_{13} = -16$
$M_{21} = -3$
$M_{22} = 9$
$M_{23} = -5$
$M_{31} = 17$
$M_{32} = 28$
$M_{33} = 2$

Kofaktor-kofaktor matriks B adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} (22) = 22$
$C_{12} = (-1)^{1+2} (13) = -13$
$C_{13} = (-1)^{1+3} (-16) = -16$
$C_{21} = (-1)^{2+1} (-3) = 3$
$C_{22} = (-1)^{2+2} (9) = 9$
$C_{23} = (-1)^{2+3} (-5) = 5$
$C_{31} = (-1)^{3+1} (17) = 17$
$C_{32} = (-1)^{3+2} (28) = -28$
$C_{33} = (-1)^{3+3} (2) = 2$

Matriks Kofaktor

Matriks kofaktor ialah matriks yang terdiri dari kofaktor-kofaktor matriks itu sendiri. Jadi, misalkan terdapat suatu matriks katakanlah matriks A, maka matriks kofaktor A ialah matriks yang terdiri dari kofaktor-kofaktor dari matriks A. Susunan elemen matriks kofaktor juga mengikuti susunan (letak) kofaktor-kofaktornya.

Sebagai contoh, akan dipakai pola 1 dan pola 2 yang sudah didapatkan kofaktor-kofaktornya.

misal 1 (lanjutan)
Matriks
$A = \begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
4 & -5
\end{bmatrix}$
Kofaktor-kofaktor matriks A
$C_{11} = -5$
$C_{12} = -4$
$C_{21} = -3$
$C_{22} = -1$

Matriks Kofaktor $A = \begin{bmatrix}
-5 & -4 \\
-3 & -1
\end{bmatrix}$

misal 2 (lanjutan)

Matriks $B = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -3\\
6 & 4 & 5\\
1 & -2 & 3
\end{bmatrix}$

Kofaktor-kofaktor matriks B

$C_{11} = 22$
$C_{12} = -13$
$C_{13} = -16$
$C_{21} = 3$
$C_{22} = 9$
$C_{23} = 5$
$C_{31} = 17$
$C_{32} = -28$
$C_{33} = 2$
Matriks Kofaktor $B = \begin{bmatrix}
22 & -13 & -16\\
 3 & 9 & 5\\
17 & -28 & 2
\end{bmatrix}$

Adjoin Matriks

Adjoin matriks ialah tranpose dari matriks kofaktor. Adjoin sering disingkat dengan Adj. Misalkan matriks A, maka adjoin A ditulis Adj (A). Tranpose sendiri maksudnya yakni pertukaran elemen pada baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. Adjoin matriks dipakai dalam memilih invers matriks.

Nah tadi, pada pola 1 dan pola 2 sudah didapat matriks kofaktornya untuk adjoinya sanggup ditentukan dengan mentranpos matriks kofaktor tersebut.

misal 1 (lanjutan)
Matriks $A = \begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
4 & -5
\end{bmatrix}$
Matriks Kofaktor $A = \begin{bmatrix}
-5 & -4 \\
-3 & -1
\end{bmatrix}$
Adjoin matriks A adalah
$Adj (A) = \begin{bmatrix}
-5 & -3 \\
-4 & -1
\end{bmatrix}$

misal 2 (lanjutan)
Matriks $B = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -3\\
 6 & 4 & 5\\
1 & -2 & 3

\end{bmatrix}$
Matriks Kofaktor $B = \begin{bmatrix}
22 & -13 & -16\\
 3 & 9 & 5\\
17 & -28 & 2
\end{bmatrix}$
Adjoin matriks B adalah
$Adj (B) = \begin{bmatrix}
22 & 3 & 17\\
 -13 & 9 & -28\\
-16 & 5 & 2
\end{bmatrix}$

Sebagai tes, cobalah cari tiruana minor, kofaktor, matriks kofaktor dan adjoin matriks diberikut
$C = \begin{bmatrix}
2 & 3 \\
4 & -6
\end{bmatrix}$
$D = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 4\\
 7 & 3 & 9\\
1 & 8 & 3
\end{bmatrix}$

Untuk penerapannya minor, kofaktor, matriks kofaktor dan adjoin matriks sanggup dibaca dalam artikel Menentukan Determinan Matriks Berordo 2x2 dan 3x3, Teknik Menentukan Invers Matriks 2 x 2, dan Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3.

Demikianlah klarifikasi singkat terkena pengertian minor, kofaktor, matriks kofaktor dan adjoin matriks. Semoga bermanfaa

Tweet

Subscribe to receive free email updates: