Penggunaan Invers Matriks Untuk Menuntaskan Suatu Sistem Persamaan Linear
Matriks yang kita kenal sebagai susunan bilangan berdasarkan baris dan kolom, ternyata mempunyai kaitan dengan bahan lainnya dalam matematika. Invers dan determinan dari suatu matriks persegi ternyata sanggup dipakai untuk menuntaskan suatu sistem persamaan linear. Untuk itu sebelum mempelajri cara penerapannya anda sanggup membaca terkena invers dan determinan suatu matriks melalui label Matriks.
Nah, untuk bahasan pertama kita akan mulai dengan penerapan invers matriks untuk menuntaskan suatu sistem persamaan linear atau lebih dikenal dengan metode invers
Di sini saya akan batasi pembahasanya spesialuntuk untuk sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) serta sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Misalkan, didiberikan sistem persamaan linear dua variabel sebagai diberikut
$a_{11}x + a_{12}y = b_{1}$
$a_{21}x + a_{22}y = b_{2}$
Sistem persamaan di atas sanggup diubah kedalam bentuk matriks menjadi
$\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
b_{1} \\
b_{2}
\end{bmatrix}$
Jika matriks A ialah matriks dari koefisien-koefisien dari sistem persamaan linear sebelumnya, matriks X ialah matriks variabelnya, dan matriks B ialah matriks konstanta, maka matriks-matriks tersebut sanggup ditulis menjadi
$AX = B$
Untuk sanggup memilih penyelesaian sistem persamaan linear tersebut atau dalam hal ini memilih nilai dari setiap variabelnya, sanggup dilakukan dengan cara
$X = A^{-1}B$
melaluiataubersamaini $A^{-1}$ ialah invers matriks A. Dan perlu diingat bahwa invers dari suatu matriks, misalkan matriks A sanggup ditentukan dengan rumus
$A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)
Lebih jauh terkena invers matriks 2 x 2 anda sanggup mempelajarinya pada artikel Teknik Menentukan Invers Matriks 2 x 2 sedangkan untuk matriks 3 x 3 anda sanggup membacanya pada artikel Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3. Disamping itu semoga lebih simpel nantinya mempelajari penyelesaian suatu sistem persamaan linear dengan memakai invers sebaiknya anda terlebih lampau menguasai perkalian dua buah matriks
Untuk lebih jelasnya terkena menuntaskan persamaan linear dua variabel dengan memakai invers matriks atau metode invers, perhatikan pola soal yang sudah disertai pembahasan diberikut
misal 1
melaluiataubersamaini memakai metode invers, tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel
2x - 3y = 3
x + 2y = 5
Pembahasan
Sistem persamaan di atas sanggup diubah menjadi
$\begin{bmatrix}
2 & -3 \\
1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3 \\
5
\end{bmatrix}$
$X = A^{-1}B$
$\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=\dfrac{1}{4-(-3)}$$\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
-1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 \\
5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=\dfrac{1}{7}$$\begin{bmatrix}
6 + 15 \\
-3 + 10
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
21 \\
7
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=$$\begin{bmatrix}
\frac{21}{7} \\
\frac{7}{7}
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=$$\begin{bmatrix}
3 \\
1
\end{bmatrix}$
Jadi, penyelesaiannya ialah x = 3 dan y = 1
Sedangkan, untuk sistem persamaan linear tiga variabel apabila ingin diselesaikan dengan memakai metode invers caranya hampir sama ibarat pada sistem persamaan linear dua variabel. Namun, untuk sistem persamaan linear tiga variabel sedikit agak ribet sebab untuk memilih inversnya kita harus mencari minor dan kofaktornya terlebih lampau. Agar lebih simpel mempelajarinya sebaiknya anda memahami dulu terkena cara Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3. Misalkan diketahui, suatu sistem persamaan linear tiga variabel
$a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_{1}$
$a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_{2}$
$a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_{3}$
maka matriks sistem persamaan tersebut sanggup ditulis menjadi
$\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$
x + y = 3
x - y + 2z = 5
Penyelesaian
Dari sistem persamaan yang diketahui diperoleh
$\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1\\
1& 1 & 0\\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix}
1\\
3\\
5
\end{bmatrix}$
melaluiataubersamaini demikian
$A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -1\\
1& 1 & 0\\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}$
$det(A) = 4 + 0 + 1 - (-1) - 0 - 2 = 4 $(dengan memakai metode sarrus)
melaluiataubersamaini memakai cara yang sama ibarat klarifikasi sebelumnya maka diperoleh
Matriks Kofakor A $ = \begin{bmatrix}
2 & -2 & -2\\
-1& 5 & 3\\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}$
$Adj(A) = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
-2& 5 & -1\\
-2 & 3 & 1
\end{bmatrix}$
Sehingga
$X = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)B$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
-2& 5 & -1\\
-2 & 3 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1\\
3\\
5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
2 - 3 + 5\\
-2 + 15 - 5\\
-2 + 9 + 5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
4\\
8\\
12
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{4}{4}\\
\frac{8}{4}\\
\frac{12}{4}
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1\\
2\\
3
\end{bmatrix}$
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan di atas ialah x = 1, y = 2, dan z = 3.
Sebagai tes soal cobalah selesaikan sistem persamaan diberikut dengan memakai metode invers
Latihan soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel diberikut dengan memakai metode invers
-x + 3y = 10
2x + 4y = 10
2. melaluiataubersamaini memakai metode invers tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel diberikut!
2p - 3q + r = 7
-p + q - 3r = -8
p + q + 2r = 4
Selain memakai invers kita juga sanggup menuntaskan suatu sistem persamaan linear dengan memakai determinan matriks. Tekniknya sanggup anda baca pada artikel Menyelesaikan Persamaan Linier Tiga Variabel melaluiataubersamaini Metode Determinan Matriks. Semoga bermanfaa
Nah, untuk bahasan pertama kita akan mulai dengan penerapan invers matriks untuk menuntaskan suatu sistem persamaan linear atau lebih dikenal dengan metode invers
Di sini saya akan batasi pembahasanya spesialuntuk untuk sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) serta sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Misalkan, didiberikan sistem persamaan linear dua variabel sebagai diberikut
$a_{11}x + a_{12}y = b_{1}$
$a_{21}x + a_{22}y = b_{2}$
Sistem persamaan di atas sanggup diubah kedalam bentuk matriks menjadi
$\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
b_{1} \\
b_{2}
\end{bmatrix}$
Jika matriks A ialah matriks dari koefisien-koefisien dari sistem persamaan linear sebelumnya, matriks X ialah matriks variabelnya, dan matriks B ialah matriks konstanta, maka matriks-matriks tersebut sanggup ditulis menjadi
$AX = B$
Untuk sanggup memilih penyelesaian sistem persamaan linear tersebut atau dalam hal ini memilih nilai dari setiap variabelnya, sanggup dilakukan dengan cara
$X = A^{-1}B$
melaluiataubersamaini $A^{-1}$ ialah invers matriks A. Dan perlu diingat bahwa invers dari suatu matriks, misalkan matriks A sanggup ditentukan dengan rumus
$A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)
Lebih jauh terkena invers matriks 2 x 2 anda sanggup mempelajarinya pada artikel Teknik Menentukan Invers Matriks 2 x 2 sedangkan untuk matriks 3 x 3 anda sanggup membacanya pada artikel Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3. Disamping itu semoga lebih simpel nantinya mempelajari penyelesaian suatu sistem persamaan linear dengan memakai invers sebaiknya anda terlebih lampau menguasai perkalian dua buah matriks
Untuk lebih jelasnya terkena menuntaskan persamaan linear dua variabel dengan memakai invers matriks atau metode invers, perhatikan pola soal yang sudah disertai pembahasan diberikut
misal 1
melaluiataubersamaini memakai metode invers, tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel
2x - 3y = 3
x + 2y = 5
Pembahasan
Sistem persamaan di atas sanggup diubah menjadi
$\begin{bmatrix}
2 & -3 \\
1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3 \\
5
\end{bmatrix}$
$X = A^{-1}B$
$\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=\dfrac{1}{4-(-3)}$$\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
-1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 \\
5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=\dfrac{1}{7}$$\begin{bmatrix}
6 + 15 \\
-3 + 10
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
21 \\
7
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=$$\begin{bmatrix}
\frac{21}{7} \\
\frac{7}{7}
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=$$\begin{bmatrix}
3 \\
1
\end{bmatrix}$
Jadi, penyelesaiannya ialah x = 3 dan y = 1
Sedangkan, untuk sistem persamaan linear tiga variabel apabila ingin diselesaikan dengan memakai metode invers caranya hampir sama ibarat pada sistem persamaan linear dua variabel. Namun, untuk sistem persamaan linear tiga variabel sedikit agak ribet sebab untuk memilih inversnya kita harus mencari minor dan kofaktornya terlebih lampau. Agar lebih simpel mempelajarinya sebaiknya anda memahami dulu terkena cara Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3. Misalkan diketahui, suatu sistem persamaan linear tiga variabel
$a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_{1}$
$a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_{2}$
$a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_{3}$
maka matriks sistem persamaan tersebut sanggup ditulis menjadi
$\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$
Jika, $A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}$, $X = \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$, dan $B = \begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$ maka
$A \times X = B$
$X = A^{-1}B$
$X = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)B$
Berikut ini ialah pola soal terkena penerapan metode invers untuk menuntaskan suatu sistem persamaan linear tiga variabel
misal 2
melaluiataubersamaini memakai invers matriks tentukanlah penyelesaian sistem persamaan tiga variabel diberikut!
2x + y - z = 1a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}$, $X = \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$, dan $B = \begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$ maka
$A \times X = B$
$X = A^{-1}B$
$X = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)B$
Berikut ini ialah pola soal terkena penerapan metode invers untuk menuntaskan suatu sistem persamaan linear tiga variabel
misal 2
melaluiataubersamaini memakai invers matriks tentukanlah penyelesaian sistem persamaan tiga variabel diberikut!
x + y = 3
x - y + 2z = 5
Penyelesaian
Dari sistem persamaan yang diketahui diperoleh
$\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1\\
1& 1 & 0\\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix}
1\\
3\\
5
\end{bmatrix}$
melaluiataubersamaini demikian
$A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -1\\
1& 1 & 0\\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}$
$det(A) = 4 + 0 + 1 - (-1) - 0 - 2 = 4 $(dengan memakai metode sarrus)
melaluiataubersamaini memakai cara yang sama ibarat klarifikasi sebelumnya maka diperoleh
Matriks Kofakor A $ = \begin{bmatrix}
2 & -2 & -2\\
-1& 5 & 3\\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}$
$Adj(A) = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
-2& 5 & -1\\
-2 & 3 & 1
\end{bmatrix}$
Sehingga
$X = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)B$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
-2& 5 & -1\\
-2 & 3 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1\\
3\\
5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
2 - 3 + 5\\
-2 + 15 - 5\\
-2 + 9 + 5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
4\\
8\\
12
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{4}{4}\\
\frac{8}{4}\\
\frac{12}{4}
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1\\
2\\
3
\end{bmatrix}$
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan di atas ialah x = 1, y = 2, dan z = 3.
Sebagai tes soal cobalah selesaikan sistem persamaan diberikut dengan memakai metode invers
Latihan soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel diberikut dengan memakai metode invers
-x + 3y = 10
2x + 4y = 10
2. melaluiataubersamaini memakai metode invers tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel diberikut!
2p - 3q + r = 7
-p + q - 3r = -8
p + q + 2r = 4
Selain memakai invers kita juga sanggup menuntaskan suatu sistem persamaan linear dengan memakai determinan matriks. Tekniknya sanggup anda baca pada artikel Menyelesaikan Persamaan Linier Tiga Variabel melaluiataubersamaini Metode Determinan Matriks. Semoga bermanfaa
0 Response to "Penggunaan Invers Matriks Untuk Menuntaskan Suatu Sistem Persamaan Linear"
Posting Komentar