Turunan Kedua Dan Penggunaannya
Jika suatu benda bergerak memenuhi fungsi jarak s yang ditempuh selama waktu t. Maka turunan pertama s ialah kecepatan benda tersebut. Jika dengan turunan pertama kita memperoleh kecepatan suatu benda, maka dengan turunan keduanya kita akan mendapat percepatanya
Sebelumnya kita sudah mengenal turunan dalam hal ini ialah turunan pertama, turunan kedua ialah kelanjutan dari turunan pertama. Apabila $f'(x)$ ialah pertama dari $f(x)$, maka $f''(x)$ ialah turunan kedua yang diperoleh dari penurunan kembali turunan pertama $f'(x)$. Selain percepatan, turunan kedua dalam penerapanya sanggup dipakai untuk memilih jenis nilai stasionernya.
Notasi untuk turunan kedua sanggup dituliskan menjadi $f''(x)$ atau $y''$ atau $\frac{d^2 f}{d x^2}$ atau $\frac{d^2 y}{d x^2}$. Penulisan $\frac{d^2 f}{d x^2}$ ialah penulisan singkat dari bentuk $\frac{d}{dx} \left(\frac{df}{dx}\right)$, begitu pula untuk $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ialah penulisan singkat dari $\frac{d y}{d x}\left(\frac{d y}{dx}\right)$. Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal yang disertai pembahasannya diberikut ini
misal 1
Carilah turunan kedua fungsi $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x - 8$!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x - 8$
$f'(x) = 3x^2 + 6x - 2$
$f''(x) = 6x + 6$
misal 2
Carilah nilai $f''(2)$ dari fungsi $f(x) = 5x^3 + 10x$!
Penyelesaian
$f(x) = 5x^3 + 10x$
$f'(x) = 15x^2 + 10$
$f''(x) = 30 x$
$f''(2) = 30(2) = 60$
misal 3
Turunan kedua dari fungsi $f(x) = sin^2 x$ ialah ...
Penyelesaian
$f(x) = sin^2 x$
$f'(x) = 2 sinx cosx$
$f''(x) = 2(cosx x cosx - sinx sinx)$
$f''(x) = 2(1 - sin^2 x - sin^2 x)$
$f''(x) = 2(1 - sin^2 x)$
Penggunaan Turunan Kedua
Turunan kedua sanggup dipakai untuk memilih jenis-jenis nilai stasionernya. Sebenarnya dari turunan pertama kita sudah sanggup mengetahuinya dengan menguji tanda-tandanya. Hal ini kadang terasa aga merepotkan, dengan memakai turunan kedua memilih jenis-jenis nilai stasioner suatu fungsi akan lebih gampang. Dalam memilih jenis nilai stasioner dengan memakai tes turunan kedua berlaku
Misalkan $f$$(x)$ kontinu pada interval $b < x < c$ yang memuat $x = a$. Turunan pertama $f'(x) $ dan turunan kedua $f''(x) $ terdefinisi dalam interval tersebut dan $f'(a) = 0$, maka
Jika $f''(x)< 0$, maka $f(a)$ ialah nilai balik naksimum
Jika $f''(x) > 0$, maka $f(a)$ ialah nilai balik minimum
Namun, ada hal yang perlu diperhatikan dalam memakai uji turunan kedua, bila $f''x = 0$ atau tak terhingga, maka jenis-jenis nilai stasionernya tidak sanggup ditentukan. Apabila demikian, jenis-jenis nilai stasionernya spesialuntuk sanggup dipakai dengan memakai uji turunan pertama saja.
Selain itu, dalam kehidupan sehari-hari turunan kedua sanggup dipakai untuk memilih nilai percepatan suatu fungsi. Untuk lebih jelasnya, diberikut ini akan disajikan pola soal dan pembahasanya.
misal 4
melaluiataubersamaini memakai uji turunan kedua, selidiki jenis-jenis nilai stasioner fungsi $f(x) = x^2 + 2x + 4$!
Penyelesaian
$f(x) = x^2 + 2x + 4$
$f'(x) = 2x + 2$
$f''(x) = 2$
Nilai stasioner diperoleh dengan syarat $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$2x + 2 = 0$
$x = -1$
$f''(-1) = 2 > 0$
Oleh sebab $f''(-1) > 0$, maka jenis nilai stasionernya ialah nilai balik minimum dengan nilai $f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$
misal 5
melaluiataubersamaini memakai uji turunan kedua, selidiki jenis-jenis nilai stasioner fungsi $f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 2$!
Penyelesaian
$f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 2$
$f'(x) = 6x^2 - 10x - 4$
$f''(x) = 12x - 10$
Nilai satsioner diperoleh dengan syarat $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$6x^2 - 10x - 4 = 0$
$3x^2 - 5x - 2 = 0$
$(3x + 1)(x - 2) = 0$
$x = -\frac{1}{3}$ atau $x = 2$
$f''(-\frac{1}{3}) = 12 ( \frac{1}{3} ) - 10 = -6 < 0$, $f(-\frac{1}{3})$ ialah nilai balik maksimum dengan nilai $f(-\frac{1}{3}) = 2(-\frac{1}{3})^3 - 5(-\frac{1}{3})^2 - 4(-\frac{1}{3}) + 2 $ $= \frac{73}{27} = 2\frac{8}{27}$
$f''(2) = 12 ( 2) - 10 = 14 > 0$, $f(-\frac{1}{3})$ ialah nilai balik minimum dengan nilai $f(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 - 4(2) + 2 $ $= -42 $
misal 6
Sebuah benda bergerak berdasarkan lintasan sepanjang s meter pada waktu t detik dan dirumuskan dengan dengan fungsi $s = t^3 – 6t$
a. Carilah besarnya kecepatan dan percepatan benda sebagai fungsi t.
b. Hitunglah besarnya kecepatan dan percepatan benda pada dikala t = 3 s.
Penyelesaian
$s = t^3 – 6t$
a. Kecepatan dan percepatn dalam fungsi t
Kecepatan $v = s'$
$s' = 3t^2 – 6$
Percepatan $a = s''$
$s'' = 6t$
b. Kecepatan dan percepatan dikala t = 3 s.
Kecepatan
$v = 3(3)^2 - 6 = 21$ m/s
$a = 6(3) = 16$ m/s$^2$
Jadi, kecepatan dan percepatan benda pada dikala t = 3 s ialah 21 m/s dan 16 m/s$^2$
Demikianlah terkena turunan kedua dan penerapanya, agar bermanfaa dan sanggup dpahami.
Sebelumnya kita sudah mengenal turunan dalam hal ini ialah turunan pertama, turunan kedua ialah kelanjutan dari turunan pertama. Apabila $f'(x)$ ialah pertama dari $f(x)$, maka $f''(x)$ ialah turunan kedua yang diperoleh dari penurunan kembali turunan pertama $f'(x)$. Selain percepatan, turunan kedua dalam penerapanya sanggup dipakai untuk memilih jenis nilai stasionernya.
Notasi untuk turunan kedua sanggup dituliskan menjadi $f''(x)$ atau $y''$ atau $\frac{d^2 f}{d x^2}$ atau $\frac{d^2 y}{d x^2}$. Penulisan $\frac{d^2 f}{d x^2}$ ialah penulisan singkat dari bentuk $\frac{d}{dx} \left(\frac{df}{dx}\right)$, begitu pula untuk $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ialah penulisan singkat dari $\frac{d y}{d x}\left(\frac{d y}{dx}\right)$. Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal yang disertai pembahasannya diberikut ini
misal 1
Carilah turunan kedua fungsi $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x - 8$!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x - 8$
$f'(x) = 3x^2 + 6x - 2$
$f''(x) = 6x + 6$
misal 2
Carilah nilai $f''(2)$ dari fungsi $f(x) = 5x^3 + 10x$!
Penyelesaian
$f(x) = 5x^3 + 10x$
$f'(x) = 15x^2 + 10$
$f''(x) = 30 x$
$f''(2) = 30(2) = 60$
misal 3
Turunan kedua dari fungsi $f(x) = sin^2 x$ ialah ...
Penyelesaian
$f(x) = sin^2 x$
$f'(x) = 2 sinx cosx$
$f''(x) = 2(cosx x cosx - sinx sinx)$
$f''(x) = 2(1 - sin^2 x - sin^2 x)$
$f''(x) = 2(1 - sin^2 x)$
Penggunaan Turunan Kedua
Turunan kedua sanggup dipakai untuk memilih jenis-jenis nilai stasionernya. Sebenarnya dari turunan pertama kita sudah sanggup mengetahuinya dengan menguji tanda-tandanya. Hal ini kadang terasa aga merepotkan, dengan memakai turunan kedua memilih jenis-jenis nilai stasioner suatu fungsi akan lebih gampang. Dalam memilih jenis nilai stasioner dengan memakai tes turunan kedua berlaku
Misalkan $f$$(x)$ kontinu pada interval $b < x < c$ yang memuat $x = a$. Turunan pertama $f'(x) $ dan turunan kedua $f''(x) $ terdefinisi dalam interval tersebut dan $f'(a) = 0$, maka
Jika $f''(x)< 0$, maka $f(a)$ ialah nilai balik naksimum
Jika $f''(x) > 0$, maka $f(a)$ ialah nilai balik minimum
Namun, ada hal yang perlu diperhatikan dalam memakai uji turunan kedua, bila $f''x = 0$ atau tak terhingga, maka jenis-jenis nilai stasionernya tidak sanggup ditentukan. Apabila demikian, jenis-jenis nilai stasionernya spesialuntuk sanggup dipakai dengan memakai uji turunan pertama saja.
Selain itu, dalam kehidupan sehari-hari turunan kedua sanggup dipakai untuk memilih nilai percepatan suatu fungsi. Untuk lebih jelasnya, diberikut ini akan disajikan pola soal dan pembahasanya.
misal 4
melaluiataubersamaini memakai uji turunan kedua, selidiki jenis-jenis nilai stasioner fungsi $f(x) = x^2 + 2x + 4$!
Penyelesaian
$f(x) = x^2 + 2x + 4$
$f'(x) = 2x + 2$
$f''(x) = 2$
Nilai stasioner diperoleh dengan syarat $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$2x + 2 = 0$
$x = -1$
$f''(-1) = 2 > 0$
Oleh sebab $f''(-1) > 0$, maka jenis nilai stasionernya ialah nilai balik minimum dengan nilai $f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$
misal 5
melaluiataubersamaini memakai uji turunan kedua, selidiki jenis-jenis nilai stasioner fungsi $f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 2$!
Penyelesaian
$f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 2$
$f'(x) = 6x^2 - 10x - 4$
$f''(x) = 12x - 10$
Nilai satsioner diperoleh dengan syarat $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$6x^2 - 10x - 4 = 0$
$3x^2 - 5x - 2 = 0$
$(3x + 1)(x - 2) = 0$
$x = -\frac{1}{3}$ atau $x = 2$
$f''(-\frac{1}{3}) = 12 ( \frac{1}{3} ) - 10 = -6 < 0$, $f(-\frac{1}{3})$ ialah nilai balik maksimum dengan nilai $f(-\frac{1}{3}) = 2(-\frac{1}{3})^3 - 5(-\frac{1}{3})^2 - 4(-\frac{1}{3}) + 2 $ $= \frac{73}{27} = 2\frac{8}{27}$
$f''(2) = 12 ( 2) - 10 = 14 > 0$, $f(-\frac{1}{3})$ ialah nilai balik minimum dengan nilai $f(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 - 4(2) + 2 $ $= -42 $
misal 6
Sebuah benda bergerak berdasarkan lintasan sepanjang s meter pada waktu t detik dan dirumuskan dengan dengan fungsi $s = t^3 – 6t$
a. Carilah besarnya kecepatan dan percepatan benda sebagai fungsi t.
b. Hitunglah besarnya kecepatan dan percepatan benda pada dikala t = 3 s.
Penyelesaian
$s = t^3 – 6t$
a. Kecepatan dan percepatn dalam fungsi t
Kecepatan $v = s'$
$s' = 3t^2 – 6$
Percepatan $a = s''$
$s'' = 6t$
b. Kecepatan dan percepatan dikala t = 3 s.
Kecepatan
$v = 3(3)^2 - 6 = 21$ m/s
$a = 6(3) = 16$ m/s$^2$
Jadi, kecepatan dan percepatan benda pada dikala t = 3 s ialah 21 m/s dan 16 m/s$^2$
Demikianlah terkena turunan kedua dan penerapanya, agar bermanfaa dan sanggup dpahami.
0 Response to "Turunan Kedua Dan Penggunaannya"
Posting Komentar