Menyelesaiakan Persamaan Dan Pertidaksamaan Linear Yang Melibatkan Nilai Mutlak

Sebelum mengulas terkena menuntaskan persamaan dan pertidaksamaan linear yang melibatkan nilai mutlak. Pertama, kita bahas terlebih lampau terkena persamaan linear, pertidaksamaan linear, serta konsep nilai mutlak. Persamaan linear ialah sebuah persamaan aljabar dimana tiap sukunya mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan tanda sama dengan serta variabelnya berpangkat satu. Persamaan ini dikatakan linear alasannya ialah jikalau kita gambarkan dalam koordinat cartesius berbentuk garis lurus. Sedangkan, Pertidaksamaan linear ialah kalimat terbuka dalam matematika yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Dalam hal ini persamaan linear dan pertidaksamaan linear yang nantinya melibatkan nilai mutlak kita batasi pada persamaan linear dan pertidaksamaan yang spesialuntuk mempunyai satu variabel.

Nilai mutlak sendiri ialah jarak antara bilangan itu dengan nol (0) pada garis bilangan. Misalkan 5, pada garis bilangan mempunyai jarak 5 dengan nol (0). Sehingga nilai mutlak dari 5 ialah 5 (dinotasikan dengan |5| = 5). misal lainnya misalkan -7 mempunyai jarak 7 dengan nol (0) pada garis bilangan sehingg |-7|=7

Nilai mutlak sanggup didefinisikan dengan
Misalkan x bilangan real, didefinisikan

 Nilai mutlak juga sanggup didefinisikan dengan

"Apabila x ialah sebuah bentuk aljabar, sedangkan n ialah bilangan real positif, maka |x| = n sanggup diimplikasikan menjadi x = n atau x = -n"

Perlu diingat bahwa sifat ini spesialuntuk sanggup diaplikasikan sehabis kita melaksanakan isolasi terhadap simbol nilai mutlak yang ada pada satu ruas. Untuk lebih memahaminya perhatikan pola soal diberikut

misal 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |x - 7| = 3
Penyelesaian
x - 7 = 3  
x = 7 + 3
x = 10
atau
-(x - 7) = 3
x - 7 = -3
x = -3 + 7
x = 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya = {4, 10}

misal 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari 3|2x + 3| - 7 = -4
Penyelesaian
Untuk soal tipe ini, kita perlu mengubah bentuk soal menjadi ibarat bentuk soal pada pola 1. Berikut ialah cara penyelesaianya
3|2x + 3| - 7 = -4
 3|2x + 3| = -4 + 7
3|2x + 3| = 3
|2x + 3| = 1
2x + 3 = 1
2x = 1-3
2x = -2
x = -1
atau
-(2x + 3) = 1
2x + 3 = -1
2x = -1 – 3
2x = -4
x = -2
Jadi, himpunan penyelesaiannya = {1, -2}

misal 3
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan |x – 1| + |3x + 6| = 8
Penyelesaian:
Untuk menuntaskan soal di atas maka kita perlu mengisolasi setiap bentuk aljabar yang melibatkan nilai mutlak seseuai dngan definisinya sehingga didapat

Dari bentuk di atas kita mendapat tiga tempat dalam garis bilangan yaitu x ³ 1, -2 ≤ x < 1, dan x < -2. Ketiganya kita uji untuk mendapat himpunan penyelesaianya.
Untuk x ³ 1 maka
x – 1 + 3x + 6 = 8
4x + 5 = 8
4x = 8 – 5
4x = 3
x = ¾ (tidak memenuhi, alasannya ialah x = ¾ tidak berada pada interval x ³ 1)
Untuk -2 ≤ x < 1 maka
-(x – 1) + 3x + 6 = 8
-x + 1 + 3x + 6 = 8
2x + 7 = 8
2x = 8 – 7
2x = 1
x = ½ (memenuhi, alasannya ialah x = ½ berada pada interval -2 ≤ x < 1)
Untuk x < -2 maka
-(x – 1) + -(3x + 6) = 0
-x + 1 -3x – 6 = 8
-4x – 5 = 8
-4x = 8 + 5
-4x = 13
x = -13/4 (memenuhi, alasannya ialah berada pada interval x < -2)
Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah = { ½, -13/4}

Untuk pertidaksamaan linear yang melibatkan nilai mutlak, kita sanggup menuntaskan dengan bentuk

Dalam menuntaskan bentuk pertidaksamaan linear yang melibatkan nilai mutlak kita harus memahami cara memilih himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Karena dalam menuntaskan bentuk pertidaksamaan linear yang melibatkan nilai mutlak kita akan menemukan bentuk pertidaksamaan kuadrat. Nah, bagaimana cara menggunakannya? Perhatikan pola soal diberikut.

misal 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x-1| > 2
Penyelesaian
|x-1| > 2
(x - 1)² > 2²
x² -2x + 1 > 4
x² -2x +1 - 4 >0
x² -2x -3 > 0
(x – 3)(x + 1)>0
x = 3 atau x = -1

x < -1 atau x > 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah x < -1 atau x > 3

misal 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 5| > 2
Penyelesaian
|x – 5| > 2
(x – 5)² > 2²
x² – 10x +25 > 4
x² – 10x  + 21 > 0
(x - 3)(x  - 7) > 0
x – 3 = 0 atau x – 7 =0
x = 3            x = 7

x < 3 atau x > 7
Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah x < 3 atau x > 7

misal 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |2x – 5| ≤ |x + 1|
Penyelesaian
|2x – 5| ≤ |x + 1|
(2x – 5)² ≤ (x + 1)²
4x² – 20x + 25 ≤ x² + 2x + 1
4x² – 20x + 25 - x² - 2x – 1 ≤ 0
3x² -22x + 24 ≤ 0
(3x - 4)(x – 6) ≤ 0
3x – 4 = 0 atau x – 6 = 0
x = 4/3                     x = 6

4/3 ≤ x ≤ 6
Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah 4/3 ≤ x ≤ 6

Untuk penyelesaian pertidaksamaan linear yang melibatkan nilai mutlak kita juga sanggup memakai sifat dari bentuk selisih kuadrat (a² - b²). Dimana bentuk selisih kuadrat tersebut sanggup dengan simpel difaktorkan. Coba perhatikan bentuk selisih kuadrat diberikut.

a² - b² = (a + b)(a - b)

Sehingga kita akan memperoleh alternatif penyelesaian yang mungkin lebih gampang. Sebagai pola kita akan menuntaskan ulang pola 1 dengan memanfaatkan sifat bentuk selisih kuadrat
Alternatif penyelesaian pola 1
|x-1| > 2
(x - 1)² - 2² > 0
(x - 1 + 2)(x - 1 - 2) > 4
(x + 1)(x - 3)>0
x = -1 atau x = 3

x < -1 atau x > 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah x < -1 atau x > 3

Nah, cobalah sendiri untuk soal-soal lainnya. Demikianlah tadi klarifikasi singkat terkena menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linear yang melibatkan nilai mutlak. Semoga bermanfaa.

Tweet

Subscribe to receive free email updates: