Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Kuadrat Dan Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat

Selain sistem persamaan linear baik itu sistem persamaan linear dua variabel maupun sistem persamaan linear tiga variabel dikenal juga sistem persamaan yang lain yaitu sistem persamaan  linear kuadrat dan sistem persamaan kuadrat kuadrat. Sistem persamaan linear kuadrat maksudnya yaitu suatu sistem persamaan yang terdiri dari persamaan linear dan persamaan kuadrat. Sedangkan sistem persamaan kuadrat kuadrat maksudnya yaitu suatu sistem persamaan yang memuat dua persamaan kuadrat. Lantas bagaimana menyelesaikannya? Tekniknya cukup praktis yaitu dengan memakai tehnik substitusi. Selain itu, kita juga sanggup memilih penyelesaiannya dengan menggambar grafik dari masing-masing persamaan. Titik potong dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem persamaan ialah penyelesaiannya. Tapi, yang kita bahas kali ini spesialuntuklah dengan cara substitusi.

Dari hasil substitusi tadi biasanya kita akan memperoleh persamaan kuadrat baru. Nah dengan memilih penyelesaian persamaan kuadrat gres inilah kita akan mendapat himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tadi. Himpunan penyelesaiannya berupa himpunan pasangan berurutan. Nah, untuk lebih jelasnya kita akan mengulas  satu persatu cara menuntaskan dua sistem persamaan ini.

Sistem Persamaan Linear Kuadrat

Secara umum, bentuk dari sistem persamaan ini memuat sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat. Atau sanggup ditetapkan sebagai diberikut
y = ax + b
y = px² + qx + r
dengan a, b, p, q, r, x, dan y yaitu bilangan real dengan p ¹ 0

Apabila kita substitusikan y = px² + qx + r ke y = ax + b  maka diperoleh
px² + qx + r = ax + b
px² + qx + r - ax - b = 0
px² + qx - ax + r - b = 0
px² + (q - a)x + (r - b) = 0
Bentuk terakhir (px² + (q - a)x + (r - b) = 0) ialah bentuk persamaan kuadrat, dengan diskriminan (D) = (q - a)² - 4p(r - b)

Dari nilai D atau diskriminan persamaan kuadrat hasil substitusi tadi, kita akan dapatkan tiga kemungkinan himpunan penyelesaiannya yaitu:

1. Jika D > 0, maka sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian.
2. Jika D = 0, maka sistem persamaan spesialuntuk mempunyai satu penyelesaian
3. Jika D < 0, maka sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian atau himpunan kosong ({ })

Untuk lebih jelasnya perhatikan pola diberikut

misal 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
y = x² - 4x + 3
y = x - 3

Penyelesaian
y = x² - 4x + 3
y = x - 3
Substitusi y = x² - 4x + 3 ke y = x - 3 maka
x² - 4x + 3 = x - 3
x² - 4x + 3 - x + 3 = 0
x² - 5x + 6 = 0
(x - 3)(x - 2) = 0
x - 3 = 0 atau x - 2 = 0
x = 3                   x = 2
Kemudian substitusikan nilai x ke persamaan y = x - 3
x = 3 --> y = 3 - 3 = 0
x = 2 --> y = 2 - 3 = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu {(3, 0), (2, -1)}

misal 2
Diketahui sistem persamaan
y = x² + px - 3
y = x - 4
Tentukan nilai p supaya sistem persamaan di atas spesialuntuk mempunya satu penyelesaian saja!

Penyelesaian
y = x² + px - 3
y = x - 4
Substitusi y = x² + px - 3 ke y = x - 4 maka,
x² + px - 3 = x - 4
x² + px - 3 - x + 4 = 0
x² + px - x + 1 = 0
x² + (p - 1)x + 1 = 0
Agar mempunyai penyelesaian maka nilai diskrimanan dari persamaan kuadrat di atas yaitu nol (D = 0) maka,
(p - 1)² - 4(1)(1) = 0
p² - 2p + 1 - 4 = 0
p² - 2p - 3 = 0
(p + 1)(p - 3) = 0
p + 1 = 0 atau p - 3 = 0
p = -1                  p = 3
Jadi, nilai p supaya sistem persamaannya mempunyai satu penyelesaian yaitu p = -1 atau p = 3

Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat

Bentuk umum sistem persamaan ini sanggup ditetapkan sebagai diberikut
y = ax² + bx + c
y = px² + qx + r
a, b, c, p, q, r bilangan real dengan a ¹ 0 dan p ¹ 0

Jika substitusikan persamaan kuadrat y = px² + qx + r ke persamaan kuadrat y = ax² + bx + c maka diperoleh
ax² + bx + c = px² + qx + r
ax² + bx + c - px² - qx - r = 0
ax² - px² + bx - qx + c -  r = 0
(a - p)x² + (b - q)x + (c -  r) = 0

Bentuk terakhir dari persamaan kuadrat hasil substitusi ((a - p)x² + (b - q)x + (c -  r) = 0) ialah persamaan kuadrat dengan (a - p) ¹ 0. Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut adalah
D = (b - q)² - 4(a - p)(c - r) = 0

Dari nilai diskriminan ini kita juga sanggup menyimpulkan terkena himpunan pnyelesaianya yaitu

1. Jika D > 0, maka sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian.
2. Jika D = 0, maka sistem persamaan spesialuntuk mempunyai satu penyelesaian
3. Jika D < 0, maka sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian atau himpunan kosong ({ })

Selain itu, nilai a, b, c, p, q, dan r juga mensugesti penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat kuadrat yang ditetapkan tiga kemungkinan

1. Jika a = p dan b ¹ q maka sistem persamaan mempunyai satu persamaan
2. Jika a = p, b = q, dan c ¹ r maka sistem persamaan  tidak mempunyai penyelesaian
3. Jika a = p, b = q, dan c = r maka sistem persamaan mempunyai penyelesaian tak berhingga

Untuk lebih jelasnya terkena cara memilih penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat-kuadrat perhatikan pola diberikut

misal 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
y = x² + 4x - 7
y = 9 - x²

Penyelesaian
y = x² + 4x - 7
y = 9 - x²
Substitusi persamaan kuadrat y = x² + 4x - 7 ke persamaan kuadrat y = 9 - x² maka,
x² + 4x - 7 = 9 - x2
x² + 4x - 7 - 9 + x2 = 0
2x² + 4x -16 = 0
x² + 2x - 8 = 0                               (kedua ruas dibagi 2)
(x + 4)(x - 2) = 0
x + 4 = 0 atau x - 2 = 0
x = -4                   x = 2
Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan dalam hal ini digunakan y = 9 - x²
x = -4 --> y = 9 - (-4)² = 9 - 16 = -7
x = 2 --> y = 9 - 2² = 9 - 4 = 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu {(-4, -7), (2, 5)}

misal 4
Tentukan nilai a supaya sistem persamaan y = ax² + 2x - 7 dan y = 3x² - 4x + 8, himpunan penyelesaianya yaitu himpunan kosong ({ }).

Penyelesaian
y = ax² + 2x - 7
y = 3x² - 4x + 8
Substitusi y = ax² + 2x - 7 ke y = 3x² - 4x + 8 maka,
ax² + 2x - 7 = 3x² - 4x + 8
ax² + 2x - 7 - 3x² + 4x - 8 = 0
ax² - 3x² + 6x - 15 = 0
(a - 3)x² + 6x - 15 = 0
Agar mempunyai penyelesaian maka nilai diskrimanan dari persamaan kuadrat di atas harus kurang dari nol (D < 0) maka
6² - 4(a - 3)(-15) < 0
36 + 60a - 180 < 0
60a - 144 < 0
60a < 144
a < 144/60
a < 12/5
Jadi, nilai a supaya penyelesaian sistem persamaannya himpunan kosong yaitu a < 12/5

Nah, sekian dari saya terkena menyelesaikan sistem persamaan linear kuadrat dan sistem persamaan kuadrat kuadrat. Semoga bermanfaa

Tweet

Subscribe to receive free email updates: