Fungsi Naik Dan Fungsi Turun
Naik dalam kehidupan sehari-hari artinya bergerak ke atas atau ke daerah yang lebih tinggi dari daerah tiruanla. Sedangkan turun artinya bergerak ke bawah atau menuju ke daerah yang lebih rendah dari daerah tiruanla. Yang dimaksud fungsi naik dan fungsi turun ini hampir sama dengan pengertian di atas.
Sebelumnya, sudah dibahas terkena penerapan turunan untuk memilih persamaan garis singgung kurva. Dari sana diketahui bahwa turunan fungsi $y = f(x)$ atau $f'(x)$ ialah gradien dari garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik $(x, f(x)).
Dari gambar di atas terlihat bahwa, fungsi naik dalam interval apabila garis singgungnya bernilai positif. dan fungsi turun apabila garis singgungnya bernilai negatif.
melaluiataubersamaini demikian mengetahui kapan fungsi naik ataupun turun, kita sanggup menentukannya dengan memakai turunan dari fungsi tersebut. Suatu fungsi $f(x)$ dikatakan naik apabila memenuhi pertidaksamaan $f ′(x) > 0$. Sedangkan fungsi $f(x)$ dikatakan turun apabila memenuhi pertidaksamaan $f ′(x) < 0$. Fungsi $f'(x)$ ialah turunan dari fungsi $f(x)$. melaluiataubersamaini menuntaskan pertidaksamaan tersebut kita sanggup memilih interval suatu fungsi naik atau turun.
Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal yang disertai pembahasan terkena fungsi naik dan turun di bawah ini
misal 1
Tentukan dalam interval mana fungsi $f(x) = x^2 - 4x$ naik dan turun!
Penyelesaian
$f(x) = x^2 - 4x$
$f'(x) = 2x - 4$
Interval naik
$f'(x) > 0$
$2x - 4 > 0$
$2x > 4$
$x > 2$
Jadi, fungsi $f(x) = x^2 - 4x$ naik dalam interval $x > 2$
Interval turun
$f'(x) < 0$
$2x - 4 < 0$
$2x < 4$
$x < 2$
Jadi, fungsi $f(x) = x^2 - 4x$ turun dalam interval $x < 2$
misal 2
Tentukan dalam interval mana fungsi $f(x) = x^3 - 6x^2$ naik dan turun!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 - 6x^2$
$f'(x) = 3x^2 - 12x$
Interval naik
$f'(x) > 0$
$3x^2 - 12x > 0$
$3x(x - 4) > 0$
Bentuk di atas ialah bentuk penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Penyelesaian dari bentuk terakhir adalah
$x < 0$ atau $x > 4$
Jadi, fungsi $f(x) = x^3 - 6x^2$ naik dalam interval $x < 0$ atau $x > 4$
Interval turun
$f'(x) < 0$
$3x^2 - 12x < 0$
$3x(x - 4 < 0$
$0 < x < 4$
Jadi, fungsi $f(x) = x^3 - 6x^2$ turun dalam interval $0 < x < 4$
Untuk lebih jelasnya terkena penyelesaian soal misal 2 perhatikan gambar diberikut
Beberapa istilah yang bekerjasama dengan fungsi naik dan fungsi turun harus dipahami di antaranya yaitu sebagai diberikut
Jika $f'(x) > 0$ untuk tiruana x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan selalu naik untuk tiruana bilangan real
Jika $f'(x) < 0$ untuk tiruana x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan selalu turun untuk tiruana bilangan real
Jika $f'(x) \geq 0$ untuk tiruana x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan tidak pernah turun untuk tiruana bilangan real
Jika $f'(x) \leq 0$ untuk tiruana x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan tidak pernah naik untuk tiruana bilangan real
Biasanya dalam penyelesaian soal kita dihadapkan pada $f'(x)$ dalam bentuk fungsi kuadrat, dimana kita dituntut untuk mengatakan apakah fungsi tersebut selalu nyata atau selalu negatif untuk tiruana bilangan real. Untuk itu, kita perlu mengingat kembali bahan definit nyata dan definit negatif. Definit nyata dalam bahasa sederhannanya mengatakan suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai nyata untuk tiruana x bilangan real. Sedangkan defint negatif mengatakan suatu fungsi selalu bernilai negatif untuk tiruana x bilangan real. Syarat suatu fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ dikatakan definit nyata maupun negatif yaitu sebagai diberikut
Definit positif, maka $a > 0$ dan $D < 0$
Definit negatif, maka $a < 0$ dan $D < 0$
melaluiataubersamaini D yaitu nilai diskriminan $(D = b^2 - 4ac)$
Pada masalah lain, kalau ditemukan nilai diskriminan $D = 0$, maka ini akan mengatakan bahwa fungsi tersebut tidak pernah naik ataupun tidak pernah turun. Jika $f'(x) = ax^2 + bx + c$ maka
$f(x)$ tidak pernah turun apabila $a > 0$ dan $D = 0$
$f(x)$ tidak pernah naik apabila $a < 0$ dan $D = 0$
Agar lebih memahaminya perhatikan pola soal diberikut
misal 3
Tunjukkan bahwa fungsi $f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 8$ selalu naik untuk tiruana x bilangan real!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 8$
$f'(x) = 3x^2 - 8x + 6$
Pada $f'(x) = 3x^2 - 8x + 6$ diperoleh $a = 3 > 0$ dan
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(6) = 64 - 72 = 8 < 0$
Maka, $f'(x) = 3x^2 - 8x + 6$, definit positif
Jadi, $f'(x) = 3x^2 - 8x + 6 > 0$ selalu naik untuk tiruana x bilangan real
misal 4
Tunjukkan bahwa fungsi $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 48x - 1$ tidak pernah naik untuk tiruana x bilangan real!
Penyelesaian
$f(x) = -x^3 + 12x^2 - 48x - 1$
$f(x) = -3x^2 + 24x^2 - 48$
Pada $f(x) = -3x^2 + 24x^2 - 48$ diperoleh $a = -3 < 0$ dan
$D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4(-3)(-48) = 576 - 576 = 0 $
Jadi, $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 48x - 1$ tidak pernah naik untuk tiruana x bilangan real
misal 5
Tentukan batas-batas nilai p, semoga fungsi $f(x) = -x^3 + \frac{1}{2}px^2 - /frac{1}{2}x^2 - 3x + 8$ selalu turun untuk tiruana nilai x bilangan real!
Penyelesaian
$f(x) = -x^3 + \frac{1}{2}px^2 - /frac{1}{2}x^2 - 3x + 8$
$f'(x) = -3x^2 + 2px - x - 3$
Agar selalu turun maka $f'(x) = -3x^2 + 2px - x - 3 < 0$ (definit negatif, $a < 0$ dan $D < 0$)
$a = -3 < 0$
$D < 0$
$b^2 - 4ac < 0$
$(2p - 1)^2 - 4(-3)(-3) < 0$
$4p^2 - 4p + 1 - 36 < 0$
$4p^2 - 4a - 35 < 0$
$(2p + 5)(2p - 7)< 0$
Sebelumnya, sudah dibahas terkena penerapan turunan untuk memilih persamaan garis singgung kurva. Dari sana diketahui bahwa turunan fungsi $y = f(x)$ atau $f'(x)$ ialah gradien dari garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik $(x, f(x)).
Dari gambar di atas terlihat bahwa, fungsi naik dalam interval apabila garis singgungnya bernilai positif. dan fungsi turun apabila garis singgungnya bernilai negatif.
melaluiataubersamaini demikian mengetahui kapan fungsi naik ataupun turun, kita sanggup menentukannya dengan memakai turunan dari fungsi tersebut. Suatu fungsi $f(x)$ dikatakan naik apabila memenuhi pertidaksamaan $f ′(x) > 0$. Sedangkan fungsi $f(x)$ dikatakan turun apabila memenuhi pertidaksamaan $f ′(x) < 0$. Fungsi $f'(x)$ ialah turunan dari fungsi $f(x)$. melaluiataubersamaini menuntaskan pertidaksamaan tersebut kita sanggup memilih interval suatu fungsi naik atau turun.
Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal yang disertai pembahasan terkena fungsi naik dan turun di bawah ini
misal 1
Tentukan dalam interval mana fungsi $f(x) = x^2 - 4x$ naik dan turun!
Penyelesaian
$f(x) = x^2 - 4x$
$f'(x) = 2x - 4$
Interval naik
$f'(x) > 0$
$2x - 4 > 0$
$2x > 4$
$x > 2$
Jadi, fungsi $f(x) = x^2 - 4x$ naik dalam interval $x > 2$
Interval turun
$f'(x) < 0$
$2x - 4 < 0$
$2x < 4$
$x < 2$
Jadi, fungsi $f(x) = x^2 - 4x$ turun dalam interval $x < 2$
misal 2
Tentukan dalam interval mana fungsi $f(x) = x^3 - 6x^2$ naik dan turun!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 - 6x^2$
$f'(x) = 3x^2 - 12x$
Interval naik
$f'(x) > 0$
$3x^2 - 12x > 0$
$3x(x - 4) > 0$
Bentuk di atas ialah bentuk penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Penyelesaian dari bentuk terakhir adalah
$x < 0$ atau $x > 4$
Jadi, fungsi $f(x) = x^3 - 6x^2$ naik dalam interval $x < 0$ atau $x > 4$
Interval turun
$f'(x) < 0$
$3x^2 - 12x < 0$
$3x(x - 4 < 0$
$0 < x < 4$
Jadi, fungsi $f(x) = x^3 - 6x^2$ turun dalam interval $0 < x < 4$
Untuk lebih jelasnya terkena penyelesaian soal misal 2 perhatikan gambar diberikut
Beberapa istilah yang bekerjasama dengan fungsi naik dan fungsi turun harus dipahami di antaranya yaitu sebagai diberikut
Jika $f'(x) > 0$ untuk tiruana x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan selalu naik untuk tiruana bilangan real
Jika $f'(x) < 0$ untuk tiruana x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan selalu turun untuk tiruana bilangan real
Jika $f'(x) \geq 0$ untuk tiruana x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan tidak pernah turun untuk tiruana bilangan real
Jika $f'(x) \leq 0$ untuk tiruana x bilangan real, maka $f(x)$ dikatakan tidak pernah naik untuk tiruana bilangan real
Biasanya dalam penyelesaian soal kita dihadapkan pada $f'(x)$ dalam bentuk fungsi kuadrat, dimana kita dituntut untuk mengatakan apakah fungsi tersebut selalu nyata atau selalu negatif untuk tiruana bilangan real. Untuk itu, kita perlu mengingat kembali bahan definit nyata dan definit negatif. Definit nyata dalam bahasa sederhannanya mengatakan suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai nyata untuk tiruana x bilangan real. Sedangkan defint negatif mengatakan suatu fungsi selalu bernilai negatif untuk tiruana x bilangan real. Syarat suatu fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ dikatakan definit nyata maupun negatif yaitu sebagai diberikut
Definit positif, maka $a > 0$ dan $D < 0$
Definit negatif, maka $a < 0$ dan $D < 0$
melaluiataubersamaini D yaitu nilai diskriminan $(D = b^2 - 4ac)$
Pada masalah lain, kalau ditemukan nilai diskriminan $D = 0$, maka ini akan mengatakan bahwa fungsi tersebut tidak pernah naik ataupun tidak pernah turun. Jika $f'(x) = ax^2 + bx + c$ maka
$f(x)$ tidak pernah turun apabila $a > 0$ dan $D = 0$
$f(x)$ tidak pernah naik apabila $a < 0$ dan $D = 0$
Agar lebih memahaminya perhatikan pola soal diberikut
misal 3
Tunjukkan bahwa fungsi $f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 8$ selalu naik untuk tiruana x bilangan real!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 8$
$f'(x) = 3x^2 - 8x + 6$
Pada $f'(x) = 3x^2 - 8x + 6$ diperoleh $a = 3 > 0$ dan
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(6) = 64 - 72 = 8 < 0$
Maka, $f'(x) = 3x^2 - 8x + 6$, definit positif
Jadi, $f'(x) = 3x^2 - 8x + 6 > 0$ selalu naik untuk tiruana x bilangan real
misal 4
Tunjukkan bahwa fungsi $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 48x - 1$ tidak pernah naik untuk tiruana x bilangan real!
Penyelesaian
$f(x) = -x^3 + 12x^2 - 48x - 1$
$f(x) = -3x^2 + 24x^2 - 48$
Pada $f(x) = -3x^2 + 24x^2 - 48$ diperoleh $a = -3 < 0$ dan
$D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4(-3)(-48) = 576 - 576 = 0 $
Jadi, $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 48x - 1$ tidak pernah naik untuk tiruana x bilangan real
misal 5
Tentukan batas-batas nilai p, semoga fungsi $f(x) = -x^3 + \frac{1}{2}px^2 - /frac{1}{2}x^2 - 3x + 8$ selalu turun untuk tiruana nilai x bilangan real!
Penyelesaian
$f(x) = -x^3 + \frac{1}{2}px^2 - /frac{1}{2}x^2 - 3x + 8$
$f'(x) = -3x^2 + 2px - x - 3$
Agar selalu turun maka $f'(x) = -3x^2 + 2px - x - 3 < 0$ (definit negatif, $a < 0$ dan $D < 0$)
$a = -3 < 0$
$D < 0$
$b^2 - 4ac < 0$
$(2p - 1)^2 - 4(-3)(-3) < 0$
$4p^2 - 4p + 1 - 36 < 0$
$4p^2 - 4a - 35 < 0$
$(2p + 5)(2p - 7)< 0$
melaluiataubersamaini memakai metode penyelesaian pertidaksamaan kuadrat diperoleh
$-\frac{5}{2}< p < \frac{7}{2}$
Jadi, batas-batas nilai p semoga fungsi $f(x) = -x^3 + \frac{1}{2}px^2 - /frac{1}{2}x^2 - 3x + 8$ selalu turun untuk tiruana nilai x bilangan real adalah $-\frac{5}{2}< p < \frac{7}{2}$.
Demikianlah, terkena fungsi naik dan fungsi turun. Mengenai penerapan bahan turunan lainnya akan dibahas pada artikel lainnya. Semoga sanggup dipahami dan bermanfaa.
0 Response to "Fungsi Naik Dan Fungsi Turun"
Posting Komentar