Menentukan Nilai Stasioner Suatu Fungsi Dan Jenis-Jenisnya

Aplikasi materi turunan yang sering dibahas di sekolah yakni memilih nilai stasioner suatu fungsi. Dalam materi fungsi naik dan fungsi turun, sudah dibahas jikalau $f'(x) > 0$ maka fungsi dikatakan naik dan jikalau $f'(x) < 0$ maka fungsi dikatakan turun. Bagaimana jikalau ternyata turunan fungsi $f'(x) = 0$?

Dari gambar di atas terlihat jikalau $f'(x) = 0$ untuk x = a maka gradien garis singgung di titik tersebut yakni 0 (garis singgung sejajar dengan sumbu x). Akibatnya fungsi $f(x)$ tidak naik maupun turun, keadaan inilah dikatakan $f(x)$ memiliki nilai stasioner di x = a dan nilai stasionernya yakni $f(a)$. Nilai stasioner juga sering disebut dengan nilai kritis atau titik kritis

Dari uraian di atas diperoleh
Jika suatu fungsi $y = f(x)$ kontinu dan diferensiabel di x = a dan $f'(x) = 0$ maka $f(a)$ ialah nilai stasioner dari fungsi $f(x)$ di x = a dan titik stasionernya yakni (a, f(a)).

Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal diberikut

misal 1
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi $f(x) = x^2 + 2x - 3$!
Penyelesaian
$f(x) = x^2 + 2x - 3$
$f'(x) = 2x + 2$
Nilai stasioner $f(x)$ diperoleh jikalau $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$2x + 2 = 0$
$2x = -2$
$x = -1$

Nilai stasionernya
$f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$
Jadi, nilai stasioner fungsi $f(x) = x^2 + 2x - 3$ yakni -4 dan titik stasionernya yakni (-1, -4)

Nilai stasioner dalam beberapa fungsi tidak spesialuntuk satu atau tunggal, adakala kita juga akan mendapat dua nilai stasioner pada satu fungsi. Berikut yakni pola fungsi tersebut

misal 2
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi $f(x) = x^3 -12x$!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 -12x$
$f'(x) = 3x^2 - 12$
Nilai stasioner $f(x)$ diperoleh jikalau $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$3x^2 - 12 = 0$
$3(x + 2)(x - 2) = 0$
$x = -2$ atau $x = 2$

Nilai stasionernya
Untuk $x = -2$, $\to f(-2) = (-2)^3 -12(-2) = -8 + 24 = 16$
Untuk $x = 2$, $\to f(2) = (2)^3 -12(2) = 8 - 24 = -16$
Jadi, nilai stasioner fungsi $f(x) = x^3 -12x$ yakni -2 dan 2 serta titik stasionernya yakni (-2, 16) dan (2, -16)

Jika sudah memahami nilai stasioner, selanjutnya akan dibahas terkena jenis-jenis nilai stasioner.

Jenis-Jenis Nilai Stasioner

Terdapat tiga jenis nilai stasioner dari suatu fungsi, pertama nilai balik maksimum, nilai balik minimum dan nilai belok. Ketiga jenis nilai stasioner ini sanggup digambarkan dalam grafik diberikut

Nah pertanyaannya bagaimanakah caranya biar kita tahu suatu nilai stasioner suatu fungsi tersebut ialah nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau nilai belok? Jika kita mengamati grafik yang disajikan maka, hal itu sanggup dilakukan melalui perubahan nilai $f'(x)$ dari fungsi $f(x)$ dalam interval di kiri x < a, x = a, dan x > a. melaluiataubersamaini demikian kita akan mendapatkan

Jika perubahan nilai  $f'(x)$ dari positif, nol, kemudian negatif maka nilai stasioner di x = a tersebut yakni nilai balik maksimum
Jika perubahan nilai  $f'(x)$ dari negatif, nol, kemudian positif maka nilai stasioner di x = a tersebut yakni nilai balik minimum
Jika perubahan nilai  $f'(x)$ dari positif, nol, kemudian kembali positif atau dari negatif, nol, dan kembali negatif maka maka nilai stasioner di x = a tersebut adalah nilai belok

Agar lebih memahaminya, diberikut ini akan disajikan pola soal dan pembahasanya

misal 3
Tentukan nilai stasioner dari fungsi $f(x) = x^2 + 6x + 5$ beserta jenis nilai stasionernya!
Penyelesaian
$f(x) = x^2 + 6x + 5$
$f'(x) = 2x + 6$
Nilai stasioner $f(x)$ diperoleh jikalau $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$2x + 6 = 0$
$2x = -6$
$x = -3$
Untuk mengetahui jenis nilai stasionernya sanggup ditentukan dengan mengusut nilai-nilai $f'(x)$ di sekitar $x = -3$, yang diperlihatkan oleh tabel diberikut.

Karena perubahan nilai $f'(x)$ dari negatif, nol, kemudian positif, maka nilai stasionernya termasuk nilai balik minimum

misal 4
Tentukan nilai stasioner dari fungsi $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ beserta jenis nilai stasionernya!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$
$f'(x) = 3x^2 - 6x$
Nilai stasioner $f(x)$ diperoleh jikalau $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$3x^2 - 6x = 0$
$3x(x - 6) = 0$
$x = 0$ atau $x = 6$Untuk mengetahui jenis nilai stasionernya sanggup ditentukan dengan mengusut nilai-nilai $f'(x)$ di sekitar $x = 0$ dan $x = 6$, yang diperlihatkan oleh tabel diberikut.

Karena perubahan nilai $f'(x)$ untuk nilai stasioner $x = 0$ dari positif, nol, kemudian negatif, maka nilai stasionernya termasuk nilai balik maksimum
Karena perubahan nilai $f'(x)$ untuk nilai stasioner $x = 6$ dari negatif, nol, kemudian positif, maka nilai stasionernya termasuk nilai balik minimum

Demikianlah terkena nilai stasioner suatu fungsi beserta jenis-jenisnya. Semoga sanggup dipahami dan bermanfaa.

Tweet

Subscribe to receive free email updates: