Kontinuitas Suatu Fungsi

Artikel kali ini akan mengulas terkena kontinuitas atau continuity dalam isitilah bahasa inggrisnya. Kontinuitas sanggup disamakan artinya dengan kesinambungan. Lawan kontinuitas yakni diskontinuitas, dimana bila kontinuitas itu kesinambungan maka diskontinuitas yakni tak sinambung. Kontinuitas suatu fungsi kurang lebih sama artinya dengan kesinambungan suatu fungsi.

Kontinuitas suatu fungsi sangat akrab kaitannya dengan limit fungsi, maka dari itu prasyarat memahami bahan limit sangat diharapkan di sini. Kontinuitas dan diskontinuitas sanggup digambarkan dengan tiga buah grafik di bawah ini.

Grafik (1) menggambarkan suatu fungsi yang kontinu, grafik (2) terdapat lubang (lingkaran terbuka) menggambarkan suatu fungsi yang diskontinu, dan grafik (3) terlihat terperinci bila fungsi tersebut diskontinu juga. Nah, dapatkah kita menengetahui suatu fungsi kontinu atau tidak tanpa menggambarnya? Untuk menjawaban pertanyaan tersebut, simaklah klarifikasi di bawah ini.

Syarat Kontinuitas Suatu Fungsi

Suatu fungsi dikatakan kontinu atau tidak apabila memenuhi beberapa syarat. Simaklah definisi diberikut
Misalkan f(x) terdefinisi dalam interval yang memuat x = a. Fungsi f(x) dikatakan kontinu di x = a bila dan spesialuntuk bila $lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
Suatu fungsi f(x) sanggup dikatakan kontinu di x = a apabila memenuhi tiga syarat
1. f(a) harus ada (terdefinisi)
2. $lim_{x \to a} f(x) $ harus ada
3. $lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
Jika salah satu diantara ketiga syarat tidak terpenuhi, maka fungsi f(x) tidak kontinu pada interval x = a.

Untuk lebih jelasnya mari simak pola soal beserta pembahasanya diberikut ini

misal 1
Selidiki, apakah fungsi $f(x) = x^3 - x + 1$ kontinu di x = 1?
Penyelesaian
Syarat 1
$f(1) = 1^3 - 1 + 1 = 1$ (ada)
Syarat 2
$lim_{x \to 1} x^3 - x + 1 = 1^3 - 1 + 1 = 1$ (ada)
Syarat 3
$f(1) = 1$ dan $lim_{x \to 1} f(x) = 1$, maka $lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$
Karena ketiga syarat terpenuhi, maka fungsi $f(x) = x^3 - x + 1$ kontinu di x = 1

misal 2
Selidiki, apakah fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ kontinu di x = 2?
Penyelesaian
Syarat 1
$f(2) = \frac{2^2 - 4}{2 - 2}$ $ = \frac{0}{0} = $ tak terdefinisi (tidak ada)
Karena syarat 1 tidak terpenuhi, maka fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ tidak kontinu di x = 2

misal 3

Selidiki, apakah fungsi $f(x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{x^3 - 1}{x - 1}, untuk x \neq 1 \\ 3 , untuk x = 1

\end{matrix}\right.$ kontinu di x = 1?

Penyelesaian

Syarat 1

$f(1) = 3 (ada)

Syarat 2

$lim_{x \to 1} f(x) = lim_{x \to 1}\frac{x^3 - 1}{x - 1}$

                       $= lim_{x \to 1}\frac{(x - 1)(x^2 + x +1)}{x - 1}$

                       $= lim_{x \to 1}x^2 + x +1$

                       $= 1^2 + 1 +1$

                       $= 3$ (ada)

Syarat 3

$f(1) = 3$ dan $lim_{x \to 1} f(x) = 3$, maka $lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$
Karena ketiga syarat terpenuhi, maka fungsi $f(x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{x^3 - 1}{x - 1}, untuk x \neq 1 \\ 3 , untuk x = 1

\end{matrix}\right.$ kontinu di x = 1.

misal 4

Selidiki, apakah fungsi $f(x) = \left\{\begin{matrix}
x - 1, untuk x < 1 \\ x^2 + x - 2 , untuk x \geq 1

\end{matrix}\right.$ kontinu di x = 1?

Penyelesaian

Syarat 1

$f(1) = 1^2 + 1 - 2 = 0$ (ada)

Syarat 2

$lim_{x \to 1^-} f(x) = lim_{x \to 1} x - 1$

                       $= 1 - 1$

                       $=  0$

$lim_{x \to 1^+} f(x) = lim_{x \to 1} x^2 + x - 2$

                       $= 1^2 + 1 -2$

                       $=  0$

Karena $lim_{x \to 1^-} f(x) = lim_{x \to 1^+} f(x) = 0$ maka $lim_{x \to 1} f(x) = 0$ (ada)

Syarat 3

$f(1) = 0$ dan $lim_{x \to 1} f(x) = 0$, maka $lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$

Karena ketiga syarat terpenuhi, maka fungsi $f(x) = \left\{\begin{matrix}
x - 1, untuk x < 1 \\ x^2 + x - 2 , untuk x \geq 1

\end{matrix}\right.$ kontinu di x = 1.

misal 5

Diketahui fungsi f ditentukan dengan rumus

$f(x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{x^2 - 9}{x - 3}, untuk x \neq 3 \\ ax , untuk x = 3

\end{matrix}\right.$

Jika f(x) kontinu di x = 3, tentukan nilai a!

Penyelesaian

Karena f(x) kontinu di x = 3 (ketiga syarat terpenuhi)

Syarat 1

$f(3) = 3a$ (ada)

Syarat 2

$lim_{x \to 3} f(x) = lim_{x \to 3}\frac{x^2 - 9}{x - 3}$

                       $= lim_{x \to 3}\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3}$

                       $= lim_{x \to 3}x + 3$

                       $= 3 + 3 $

                       $= 6$ (ada)

Untuk memilih nilai a kita gunakan syarat terakhir

Syarat 3 

$lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$

$6 = 3a$

$a = 2$

Jadi, nilai a semoga f(x) kontinu di x = 3 yakni 2.

Demikianlah bahan singkat terkena kontinuitas suatu fungsi, semoga sanggup dipahami dan bermanfaa.

Tweet

Subscribe to receive free email updates: