Menentukan Invers Matriks Berordo 3 X 3

Matriks persegi ialah matriks yang banya baris dan kolomnya sama. Matriks diagonal yaitu matriks persegi yang tiruana elemen nya bernilai nol kecuali pada diagonal utamanya. Ada banyak hal yang sanggup dieksplorasi dari matriks persegi, dari matriks persegi kita sanggup memilih determinanya dan sanggup juga inversnya. Namun tidak tiruana matriks persegi mempunyai invers, matriks persegi yang mempunyai invers mempunyai determinan yang nilainya bukan nol atau sering dikenal sebagai matriks nonsingular (invertibel). Sedangkan, matriks yang mempunyai determinan sama dengan nol (non invertibel) disebut sebagai matriks singular, matriks singular tidak mempunyai invers

Hubungan Suatu Matriks melaluiataubersamaini Inversnya

Apabila dua buah matriks persegi dengan ordo sama dikalikan menghasilkan matriks identitas ada kemungkinan jikalau kedua matriks tersebut yaitu saling invers. Matriks identitas sendiri yaitu matriks diagonal yang tiruana elemen diagonal utamanya yaitu 1. Misalkan terdapat matriks persegi A dan matriks persegi B dengan ordo yang sama dan berlaku

A x B = B x A = I

Maka sanggup dikatakan jikalau kedua matriks A dan B yaitu matriks yang saling invers. Invers matriks persegi yang sering dipelajari yaitu matriks 2 x 2 dan 3 x 3. Untuk invers matriks 2 x 2 materinya sanggup anda baca pada artikel Teknik Menentukan Invers Matriks 2 x 2. Sedangkan untuk matriks 3 x 3 akan dibahas pada artikel ini.

Minor, Kofaktor, Matriks Kofaktor dan Adjoin Matriks 3 x 3

Sebelum, memilih invers matriks yang berordo 3 x 3, ada baiknya terlebih lampau kita pahami atau ningat kembali terkena determinan matriks  berordo 3 x 3 dan  minor, kofaktor, matriks kofaktor dari suatu matriks serta Adjoin matriks. Untuk determinan matriks 3 x 3 kita sanggup memakai metode sarrus ataupun metode perluasan kofaktor atau anda sanggup melihat caranya pada artikel Menentukan Determinan Matriks Berordo 2x2 dan 3x3. Minor ialah determinan matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j suatu matriks. Minor dinotasikan dengan $M_{ij}$, misalkan A yaitu matriks 3 x 3, maka $M_{11}$ yaitu determinan matriks 2 x 2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris pertama dan kolom pertama pada matriks A, $M_{12}$ yaitu determinan matriks 2 x 2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris pertama dan kolom kedua pada matriks A, $M_{13}$ yaitu determinan matriks 2 x 2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris pertama dan kolom ketiga pada matriks A dan seterusnya. Hingga terdapat 9 minor pada matriks A yang berordo 3 x 3 yaitu $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{13}$, $M_{21}$, $M_{22}$, $M_{23}$, $M_{31}$, $M_{32}$, dan $M_{33}$.

Kofaktor ialah hasil perkalian minor dengan suatu angka yang besarnya menuruti suatu hukum yaitu $(-1)^{i+j}$ dimana i yaitu baris dan j yaitu kolom. Kofaktor dinotasikan dengan $C_{ij}$, sama halnya dengan minor pada matriks yang berordo 3 x 3  terdapat 9 kofaktor yaitu $C_{11}$, $C_{12}$, $C_{13}$, $C_{21}$, $C_{22}$, $C_{23}$, $C_{31}$, $C_{32}$, dan $C_{33}$. Selanjutnya, kofaktor-kofaktor ini sanggup disusun menjadi matriks atau dikenal dengan matriks kofaktor yaitu
Matriks Kofaktor A = $\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13}\\
 C_{21} & C_{22} & C_{23}\\
 C_{31} & C_{32} & C_{33}
\end{bmatrix}$
Adjoin matriks A atau sanggup ditulis dengan $Adj(A)$ ialah matriks transpos dari matriks kofaktor A dengan demikian adjoin matriks A sanggup ditulis dengan
$Adj(A) = \begin{bmatrix}
C_{11} & C_{21} & C_{31}\\
 C_{12} & C_{22} & C_{32}\\
 C_{13} & C_{23} & C_{33}
\end{bmatrix}$

Menentukan Invers Matriks yang berordo 3 x 3

Misalkan A ialah suatu matriks persegi non singular maka invers matriks A dinotasikan dengan dinotasikan dengan $A^{-1}$ dan sanggup ditentukan dengan rumus
$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}Adj (A)$
 melaluiataubersamaini
$\det (A)$ = determinan matriks A
$Adj (A)$ = Adjoin matriks A (ialah transpos dari matriks kofaktor A)

Untuk lebih jelasnya terkena cara memilih invers matriks berordo 3 x 3, diberikut yaitu pola soal dan jawabanan dari invers matriks 3 x 3
misal 1
Tentukan invers matriks yang berordo 3 x 3 diberikut!
$A = \begin{bmatrix}
3 & 2 & 1\\
 -1& 2 & 4\\
 5& 1 & -3
\end{bmatrix}$
Penyelesaian
1) Langkah pertama kita selesaikan terlebih lampau determinanya dalam hal ini akan memakai metode Sarrus
det(A) = -18 + 40 + (-1) - 10 -12 - 6 = -7
2) Menentukan tiruana kofaktor dari matriks A
$C_{11} = (-1)^{1+1}\begin{vmatrix}
 2& 4\\
 1& -3
\end{vmatrix} = 1(-6 - 4) =-10$
$C_{12} = (-1)^{1+2}\begin{vmatrix}
 -1& 4\\
 5& -3
\end{vmatrix} = -1(3 - 20) = 17$
$C_{13} = (-1)^{1+3}\begin{vmatrix}
 -1& 2\\
 5& -1
\end{vmatrix} = 1(1 - 10) = -9$
$C_{21} = (-1)^{2+1}\begin{vmatrix}
 2& 1\\
 1& -3
\end{vmatrix} = -1(-6 - 1) = 7$
$C_{22} = (-1)^{2+2}\begin{vmatrix}
 3& 1\\
 5& -3
\end{vmatrix} = 1(-9 - 5) = 14$
$C_{23} = (-1)^{2+3}\begin{vmatrix}
 3& 2\\
 5& 1
\end{vmatrix} = -1(3 - 10) = 7$
$C_{31} = (-1)^{3+1}\begin{vmatrix}
 2& 1\\
 2& 4
\end{vmatrix} = 1(8 - 2) = 6$
$C_{32} = (-1)^{3+2}\begin{vmatrix}
 3& 1\\
 -1& 4
\end{vmatrix} = -1(12 - (-1)) = -13$

$C_{33} = (-1)^{3+3}\begin{vmatrix}
 3& 2\\
 -1& 2
\end{vmatrix} = 1(6 - (-2)) = 8$

3) Matriks Kofaktor A
Matriks Kofaktor A = $\begin{bmatrix}
10 & 17 & -9\\
 7& 14 & 7\\
 6& -13 & 8
\end{bmatrix}$
4) Adjoin A
$Adj (A) = \begin{bmatrix}
10 & 7 & 6\\
 17& 14& -13\\
 6& 7 & 8
\end{bmatrix}$
5) Invers matriks A
$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}Adj (A)$
$A^{-1} = \dfrac{1}{-7}\begin{bmatrix}
10 & 7 & 6\\
 17& 14& -13\\
 6& 7 & 8
\end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix}
-\frac{10}{7} & -1 & -\frac{6}{7}\\
 -\frac{17}{-7}& -\frac{14}{7}& \frac{13}{7}\\
 -\frac{6}{7}& -1 & -\frac{8}{7}
\end{bmatrix}$
Jadi, invers matriks A yaitu $A^{-1} = \begin{bmatrix}
-\frac{10}{7} & -1 & -\frac{6}{7}\\
 -\frac{17}{-7}& -\frac{14}{7}& \frac{13}{7}\\
 -\frac{6}{7}& -1 & -\frac{8}{7}
\end{bmatrix}$


misal 2
Tentukan invers dari matriks $B = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2\\
 -1& 4 & 3\\
 -2& 1 & -1
\end{bmatrix}$

Penyelesaian
1) Determinan matriks B
det(B) = -4 + 0 + (-2) - (-16) - 3 - 0 = 7
2) Menentukan tiruana kofaktor dari matriks B
$C_{11} = (-1)^{1+1}\begin{vmatrix}
 4& 3\\
 1& -1
\end{vmatrix} = 1(-4 - 3) =-7$
$C_{12} = (-1)^{1+2}\begin{vmatrix}
  -1& 3\\
 -2& -1
\end{vmatrix} = -1(1 - (-6)) = -7$
$C_{13} = (-1)^{1+3}\begin{vmatrix}
 -1& 4\\
 -2& 1
\end{vmatrix} = 1((-1) - (-8)) = 7$
$C_{21} = (-1)^{2+1}\begin{vmatrix}
 0& 2\\
 1& -1
\end{vmatrix} = -1(0 - 2) = 1$
$C_{22} = (-1)^{2+2}\begin{vmatrix}
 1& 2\\
 -2& -1
\end{vmatrix} = 1((-1) - (-4)) = 3$
$C_{23} = (-1)^{2+3}\begin{vmatrix}
 1& 0\\
 -2& 1
\end{vmatrix} = -1(1 - 0) = -1$
$C_{31} = (-1)^{3+1}\begin{vmatrix}
 1& 0\\
 -1& 4
\end{vmatrix} = 1(4 - 0) = 4$
$C_{32} = (-1)^{3+2}\begin{vmatrix}
  1& 2\\
 -1& 3
\end{vmatrix} = -1(3 - (-2)) = -5$
$C_{33} = (-1)^{3+3}\begin{vmatrix}
1& 0\\
 -1& 4
\end{vmatrix} = 1(4 - 0) = 4$
3) Matriks Kofaktor B
Matriks Kofaktor B = $\begin{bmatrix}
-7 & -7 & 7\\
 1& 3 & -1\\
 4& -5 & 4
\end{bmatrix}$
4) Adjoin A
$Adj (A) = \begin{bmatrix}
-7 & 1 & 4\\
 -7& 3& -1\\
 7& -5 & 4
\end{bmatrix}$
5) Invers matriks B
$B^{-1} = \dfrac{1}{\det(B)}Adj (B)$
$B^{-1} = \dfrac{1}{7}\begin{bmatrix}
-7 & 1 & 4\\
 -7& 3& -1\\
 7& -5 & 4
\end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix}
-1 & \frac{1}{7} & \frac{4}{7}\\
 -1& \frac{3}{7}& -\frac{1}{7}\\
 1 & -\frac{5}{7} & \frac{4}{7}
\end{bmatrix}$
Jadi, invers matriks B yaitu $B^{-1} = \begin{bmatrix}
-1 & \frac{1}{7} & \frac{4}{7}\\
 -1& \frac{3}{7}& -\frac{1}{7}\\
 1 & -\frac{5}{7} & \frac{4}{7}
\end{bmatrix}$

Latihan Soal
Sebagai tes soal, cobalah cari invers matriks diberikut!
$C = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 4\\
 -2& 0 & 5\\
 4& 1 & -2
\end{bmatrix}$

Penggunaan Invers Matriks 3 x 3

Invers matriks secara umum sanggup dipakai untuk memilih penyelesaian permasalahan sistem persamaan linear. Khusus untuk invers matriks 3 x 3 sanggup dipakai untuk memilih sistem persamaan linear 3 x 3. Hal ini sanggup dilakukan dengan mengubah sistem persamaan tersebut ke dalam bentuk matriks. Misalkan diketahui, suatu sistem persamaan linear tiga variabel
$a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_{1}$
$a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_{2}$
$a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_{3}$
maka matriks sistem persamaan tersebut sanggup ditulis menjadi
$\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
 a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$

Jika, $A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
 a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}$, $X = \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$, dan $B = \begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$ maka

$A \times X = B$
$X = A^{-1}B$
$X = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)B$

Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal diberikut!
misal 3
melaluiataubersamaini memakai invers matriks tentukanlah penyelesaian sistem persamaan tiga variabel diberikut!
2x + y - z = 1
x + y = 3
x - y + 2z = 5

Penyelesaian
Dari sistem persamaan yang diketahui diperoleh
$\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1\\
 1& 1 & 0\\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix}
1\\
3\\
5
\end{bmatrix}$
melaluiataubersamaini demikian
$A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -1\\
 1& 1 & 0\\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}$
$det(A) = 4 + 0 + 1 - (-1) - 0 - 2 = 4 $(dengan memakai metode sarrus)
melaluiataubersamaini memakai cara yang sama menyerupai klarifikasi sebelumnya maka diperoleh
Matriks Kofakor A $ = \begin{bmatrix}
2 & -2 & -2\\
 -1& 5 & 3\\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}$
$Adj(A) = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
 -2& 5 & -1\\
-2 & 3 & 1
\end{bmatrix}$
Sehingga
$X = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)B$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
 -2& 5 & -1\\
-2 & 3 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1\\
3\\
5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
2 - 3 + 5\\
-2 + 15 - 5\\
-2 + 9 + 5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
4\\
8\\
12
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{4}{4}\\
\frac{8}{4}\\
\frac{12}{4}
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1\\
2\\
3
\end{bmatrix}$
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan di atas yaitu x = 1, y = 2, dan z = 3.

Sebagai tes cobalah soal selesaikan soal diberikut
Latihan Soal
Tentukan nilai x, y, dan z dari sistem persamaan tiga variabel diberikut!
x + 2y + 3z = 10
x - y + z = 2
x + y + z = 6

Selain itu, penyelesaian dari sistem persamaan linear sanggup juga dilakukan dengan memakai determinan matriks. Metode penyelesaian sistem persamaan ini sanggup anda baca pada artikel Menyelesaikan Persamaan Linier Tiga Variabel melaluiataubersamaini Metode Determinan Matriks.

Demikianlah terkena invers matriks berordo 3 x 3. Artikel ini belum sanggup dikatakan tepat atau lengkap, untuk itu saya mohon umpan balik dari para pembaca blog ini dengan mempersembahkan masukan melalui kolom komentar. Semoga bermanfaa.

Tweet

Subscribe to receive free email updates: