Rumus Perkalian, Penjumlahan, Dan Pengurangan Sinus Dan Cosinus

Selain rumus jumlah dan selisih dua sudut, rumus-rumus trigonometri yang tak kalah penting ialah rumus perkalian, penjumlahan, serta pengurangan sinus dan cosinus. Ketiga rumus ini sangat bersahabat kaitanya datu sama lain. Untuk menurunkan rumus perkalian sinus dan cosinus maka dibutuhkan pemahaman wacana rumus jumlah dan selisih dua sudut. Sedangkan, untuk penjumlahan maupun pengurangan sinus serta cosinus maka dibutuhkan pengetahuan wacana rumus perkalian sinus dan cosinus.

Untuk itu, pertama akan dibahas rumus perkalian sinus dan cosinus terlebih lampau mengingat rumus jumlah dan selisih dua sudut sudah dibahas pada artikel sebelumnya.

Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus

Misalkan dua sudut sembarang $\alpha$ dan $\beta$, terdapat dua rumus perkalian antara sinus dengan cosinus yang akan kita cari di sini yaitu $2sin\alpha cos\beta$ dan $2cos\alpha sin\beta$maka rumus perkalian sinus dan cosinus sanggup ditentukan dengan metode eliminasi

$sin(\alpha+\beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$

$sin(\alpha-\beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$    

                                                                                    +

$sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta) = 2sin\alpha cos\beta$

Jadi, didapat rumus perkalian untuk $2sin\alpha cos\beta$ sebagai diberikut

$2sin\alpha cos\beta = sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta)$

Rumus yang kedua, sanggup ditentukan dengan cara yang sama yaitu dengan metode eliminasi yaitu

$sin(\alpha+\beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$

$sin(\alpha-\beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$    

                                                                                     -

$sin(\alpha+\beta) - sin(\alpha-\beta) = 2cos\alpha sin\beta$

Jadi, didapat rumus perkalian untuk $2cos\alpha sin\beta$ sebagai diberikut

$2cos\alpha sin\beta = sin(\alpha+\beta) - sin(\alpha-\beta)$

Dua rumus di atas juga sering dituliskan dalam bentuk lain yaitu

$sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta))$

$cos\alpha sin\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) - sin(\alpha-\beta))$

Untuk lebih jelasnya terkena rumus perkalian sinus dan cosinus ini, perhatikan teladan diberikut!

misal 1

Hitunglah nilai $4sin52,5^o cos7,5^o $!

Penyelesaian

$4sin52,5^o cos7,5^o = 2(2sin52,5^o cos7,5^o)$

                            $= 2(\sin(52,5^o+7,5^o) + sin(52,5^o+7,5^o))$

                            $= 2(sin60^o + sin45^o)$

                            $= 2(\frac{1}{2} \sqrt{3} + \frac{1}{2} \sqrt{2})$

                            $=  \sqrt{3} + \sqrt{2})$

Selanjutnya, selain perkalian antara sinus dengan cosinu atau sebaliknya. Rumus perkalian antara sinus dengan sinus maupun cosinus dengan cosinus sanggup juga kita tentukan dengan cara yang sama (eliminasi) yaitu dengan memanfaatkan rumus jumlah dan selisi sudut terutama pada cosinus.

$cos(\alpha+\beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$

$cos(\alpha-\beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$    

                                                                                     +

$cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta) = 2cos\alpha cos\beta$

Jadi, kita mendapat rumus perkalian $2cos\alpha cos\beta$ yaitu

$2cos\alpha cos\beta = cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta)$

melaluiataubersamaini cara yang sama juga kita akan mencai rumus perkalian antara sinus dengan sinus yaitu

$cos(\alpha+\beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$

$cos(\alpha-\beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$    

                                                                                     -

$cos(\alpha+\beta) - cos(\alpha-\beta) = -2sin\alpha sin\beta$

Jadi, kita mendapat rumus perkalian $2sin\alpha sin\beta$ yaitu

$2sin\alpha sin\beta = -(cos(\alpha+\beta) - cos(\alpha-\beta))$

Dua rumus di atas juga sering dituliskan dalam bentuk lain yaitu

$cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta))$

$sin\alpha sin\beta = -\frac{1}{2}(cos(\alpha+\beta) - cos(\alpha-\beta))$

Untuk, lebih jelasnya perhatikan teladan soal beserta pembahasannya diberikut ini

misal 2

Hitunglah nilai $sin37,5^o sin7,5^o $!

Penyelesaian

$sin37,5^o sin7,5^o = -\frac{1}{2}(cos(37,5^o+7,5^o) - cos(37,5^o-7,5^o))$

                            $=  -\frac{1}{2}(cos45^o - cos30^o)$

                            $=  -\frac{1}{2}(\frac{1}{2} \sqrt{2} - \frac{1}{2} \sqrt{3})$

                            $=  -\frac{1}{4}(\sqrt{2} - \sqrt{3})$

Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

Dari rumus perkalian sinus dan cosinus kita peroleh bahwa 

$sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta) = 2sin\alpha cos\beta$

$sin(\alpha+\beta) - sin(\alpha-\beta) = 2cos\alpha sin\beta$

$cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta) = 2cos\alpha cos\beta$

$cos(\alpha+\beta) - cos(\alpha-\beta) = -2sin\alpha sin\beta$

melaluiataubersamaini tetapkan variabel-variabel yang gres yaitu $\alpha + \beta = A$ dan $\alpha - \beta = B$. melaluiataubersamaini metode eliminasi pula akan didapatkan relasi antara variabel-variabel yang usang dengan yang gres yaitu

$\alpha + \beta = A$

$\alpha - \beta = B$

                                 +

$2\alpha = A + B$

$\alpha = \frac{1}{2}(A + B)$

$\alpha + \beta = A$

$\alpha - \beta = B$

                                 -

$2\beta = A - B$

$\beta = \frac{1}{2}(A- B)$

Sehingga, apabila kita substitusikan $\alpha + \beta = A$,  $\alpha - \beta = B$, $\alpha = \frac{1}{2}(A + B)$, dan $\beta = \frac{1}{2}(A- B)$ ke empat persamaan sebelumnya maka akan diperoleh rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus sebagai diberikut

$sinA + sinB = 2sin\frac{1}{2}(A + B) cos\frac{1}{2}(A - B)$

$sinA - sinB = 2cos\frac{1}{2}(A + B) sin\frac{1}{2}(A - B)$

$cosA + cosB = 2cos\frac{1}{2}(A + B) cos\frac{1}{2}(A - B)$

$cosA - cosB = -2sin\frac{1}{2}(A + B) sin\frac{1}{2}(A - B)$

Untuk penerapan rumusnya, diberikut ini akan disajikan teladan soal beserta pembahasannya

misal 3

Hitunglah nilai dari $cos75^o - cos15^o$!

Penyelesaian

$cos75^o - cos15^o =  -2sin\frac{1}{2}(75^o + 15^o) sin\frac{1}{2}(75^o - 15^o)$

                            $= -2sin\frac{1}{2}(90^o) sin\frac{1}{2}(60^o)$

                            $= -2sin45^o sin30^o$

                            $= -2\times \frac{1}{2} \sqrt{2} \times \frac{1}{2}$

                            $= - \frac{1}{2} \sqrt{2}$

misal 4

Tunjukkan bahwa $cos10^o + cos110^o + cos130^o$!
Penyelesaian

$cos10^o + cos110^o + cos130^o$ $= 2cos\frac{1}{2}(10^o + 110^o) cos\frac{1}{2}(10^o - 110^o) + cos130^o$

                            $= 2cos\frac{1}{2}(120^o) cos\frac{1}{2}(100^o) + cos130^o$

                            $= 2cos60^o cos(-50^o) + cos130^o$

                            $= 2 \times \frac{1}{2} cos50^o + cos130^o$

                            $= cos50^o + cos130^o$

                            $= 2cos\frac{1}{2}(50^o + 130^o) cos\frac{1}{2}(50^o -130^o)$

                            $= 2cos\frac{1}{2}(180^o) cos\frac{1}{2}(-80^o)$

                            $= 2cos90^o cos(-40^o)$

                            $= 0$ (terbukti)

Demikianlah terkena rumus perkalian, penjumlahan, dan pengurangan sinus dan cosinus, supaya bermanfaa.

Tweet

Subscribe to receive free email updates: