Turunan Fungsi Aljabar Rujukan Soal Dan Pembahasannya

Turunan Fungsi aljabar ialah salah satu dari pengembangan Limit Fungsi. Pada bahasan kali ini, akan dibahas terkena Turunan Fungsi. Turunan Fungsi sendiri sanggup diterapkan dalam memilih gradien garis singgung kurva, fungsi naik dan fungsi turun, serta nilai-nilai stasioner suatu fungsi. Lebih lanjut materi turunan atau dikenal juga dengan isitilah diferensial akan terkait pula dengan materi anti turunan atau integral.

Istilah turunan merpakan laju perubahan nilai fungsi f(x) pada x = a. melaluiataubersamaini mengambil nilai h erat dengan 0, sehingga diperoleh bentuk limit sebagai diberikut

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Jika limit di atas ada atau memiliki nilai, fungsi f(x) dikatakan diferensiabel pada x = a dan bentuk limit selajutnya dilambangkan dengan f'(a) (dibaca f aksen a).
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

f'(a) inilah yang disebut dengan turunan atau derivatif fungsi f(x) terhadap x pada x = a. Selanjutnya, notasi turunan f(x) sanggup ditetapkan dengan
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Selain notasi di atas, turunan fungsi juga sanggup dituliskan dengan beberapa lambang diberikut
$y'$ atau $\frac{df(x)}{x}$ atau $\frac{dy}{dx}$

Lambang $\frac{df(x)}{x}$ atau $\frac{dy}{dx}$ ini diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz seorang matematikawan asal Jerman

Mengenai turunan fungsi aljabar, ada beberapa rumus turunan yang perlu diketahui. Untuk u dan v masing-masing fungsi x, u' turunan dari u dan v' turunan dari v dan k bilangan konstan maka berlaku sebagai diberikut.
$f(x) = k$ maka $f'(x) = 0$
$f(x) = x$ maka $f'(x) = 1$
$f(x) = x^n$ maka $f'(x) = nx^{n-1}$
$f(x) = kx^n$ maka $f'(x) = kn x^{n-1}$
$f(x) = k u$ maka $f'(x) = k u'$ (ingat u ialah fungsi dalam x)
$f(x) = u \pm v$ maka $f'(x) = u' \pm v'$
$f(x) = u \cdot v$ maka $f'(x) = u' \cdot v + u \dot v'$
$f(x) = \frac{u}{v}$ maka $f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$
$f(x) = u^n$ maka $f'(x) = n (u^{n-1})(u')$

Untuk lebih jelasnya terkena penerapan rumus turunan fungsi di atas, diberikut ini ialah pola soal beserta uraiannya.

misal 1
Diketahui $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$. Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)!
Penyelesaian
$f'(x) = 3(2x^2-1) - 5 + 0$
$f'(x) = 6x - 5$

misal 2
Carilah turunan dari $f(x) = \frac{4}{x^6}$
Penyelesaian
melaluiataubersamaini memakai sifat-sifat perpangkatan fungsi $f(x) = \frac{4}{x^6}$ sanggup diubah menjadi  $f(x) =4x^-6$, sehingga
$f'(x) = 4(-6) x^{-6-1}$
$f'(x) = -24 x^{-7}$
$f'(x) = - \frac{24}{x^-7}$

misal 3
Tentukan turunan fungsi $y = \sqrt[3]{x^4}$!
Penyelesaian
Fungsi $y = \sqrt[3]{x^4}$ ialah pangkat bentuk belahan sehingga sanggup diubah menjadi  $y = x^{\frac{4}{3}}$
$y' = \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1}$
$y' = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$
$y' = \frac{4}{3}\sqrt[3]{x}$

misal 4
melaluiataubersamaini memakai rumus turunan hasil kali fungsi-fungsi, tentukan turunan dari $f(x) = (x^3 - 4)(x^2 + 3x + 2)$
Penyelesaian
Misal
$u = x^3 - 4$ maka $u' = 3x^2$
$v = x^2 + 3x + 2$ maka $v' = 2x + 3$

$f'(x) = (3x^2)(x^2 + 3x + 2)$ $ + (x^3 - 4)(2x + 3)$
$f'(x) = 3x^4 + 9x^3 + 6x^2$ $ + 2x^4 + 3x^3 - 8x  - 12$
$f'(x) = 5x^4 + 12x^3 + 6x^2 - 8x  - 12$

misal 5
Turunan fungsi $f(x) = \frac{5x^2 - 4}{x+2}$ ialah ...
Penyelesaian
Misal
$u = 5x^2 - 4$ maka $u' = 10x$
$v = x + 2$ maka $v' = 1$

$f'(x) = \frac{(10x)(x + 2) - (5x^2 - 4)(1)}{(x + 2)^2}$
$f'(x) = \frac{10x^2 + 20 - 5x^2 + 4}{x^2 + 4x + 4}$
$f'(x) = \frac{5x^2 + 24}{x^2 + 4x + 4}$

misal 6
Turunan pertama dari $f(x) = (2 - 6x)^5$ ialah ...
Penyelesaian
Soal menyerupai ini sanggup diselesaikan dengan memakai turunan hukum rantai, rumus untuk turunan rantai sudah dicatumkan di atas yaitu
$f(x) = u^n$ maka $f'(x) = n (u^{n-1})(u')$
Misal $u = 2 - 6x$  maka $u' = -6$
$f(x) = u^5$
$f'(x) = 5(u^{5 - 1}) u'$
$f'(x) = 5(2 - 6x)^{4} (-6)$
$f'(x) = -30(2 - 6x)^{4}$

misal 7
Diketahui $f(x) = \frac{3x - 1}{2x + 1}$, $f'(x)$ ialah turunan dari $f(x)$. Nilai dari $f'(2)$ ialah ...
Penyelesaian
Misal
$u = 3x - 1$ maka $u' = 3$
$v = 2x + 1$ maka $v' = 2$

$f'(x) = \frac{(3)(2x + 1) + (3x - 1)(2)}{(2x + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{(6x + 3 - 6x + 2}{4x^2 + 4x + 1}$
$f'(x) = \frac{5}{4x^2 + 4x + 1}$
$f'(2) = \frac{5}{4(2)^2 + 4(2) + 1}$
$f'(2) = \frac{5}{16 + 8 + 1}$
$f'(2) = \frac{5}{25}$
$f'(2) = \frac{1}{5}$

misal 8
Misalkan fungsi $f$ ditentukan oleh $f(x) = 4 - 8x - x^2$. $f'(x)$ ialah turunan dari fungsi $f(x)$, tentukan nilai $x$ jikalau $f'(x) = 6$!
Penyelesaian
$f'(x) = -8 - 2x$
$6 = -8 - 2x$
$6 + 8 = - 2x$
$14 = -2x$
$\frac{14}{-2} = x$
$x = -7$

misal 9
Misalkan terdapat fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ memiliki turunan $f'(x)$ dan $g'(x)$. Jika $f(1) = 8$, $f'(1)= -3$, $g(1) = -4$, dan $g'(1) = -7$. Tentukan nilai dari $(f \cdot g)'(1)$!
Penyelesaian
$(f \cdot g)(x) = f(x) \times g(x)$
$(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
$(f \cdot g)'(1) = f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1)$
$(f \cdot g)'(1) = (-3) \cdot (-4) + 8 \cdot (-7)$
$(f \cdot g)'(1) = 12 - 56$
$(f \cdot g)'(1) = 44$

misal 10
Sebuah drum menggelinding pada bidang miring. Jarak yang ditempuh $s$ meter dari titik asal selama $t$ sekon ditetapkan dengan rumus $s(t) = \frac{1}{2} t^2 + t$. Tentukanlah kecepatan sesaat drum pada waktu $t = 0,1$ sekon!
Penyelesaian
$s(t) = \frac{1}{2} t^2 + t$
$s'(t) = t + 1$
$s'(0,1) = 0,1 + 1$
$s'(0,1) = 1,1 m/s$
Jadi, kecepatan sesaat drum ialah 1,1 m/s

Demikianlah terkena turunan fungsi aljabar yang disertai pola soal dan pembahasanya.

Tweet

Subscribe to receive free email updates: