Turunan Fungsi Trigonometri, Pola Soal Dan Pembahasanya

Pada artikel sebelumnya sudah dibahas terkena turunan pada fungsi aljabar. Selain itu sudah dibahas pula terkena rumus yang perlu diketahui pada turunan dan integral dari fungsi trigonometri. Artikel kali ini akan mengulas terkena turunan fungsi trigonometri yang dilengkapi dengan pembuktian, tumpuan soal, beserta pembahasanya.

Rumus Turunan Trigonometri

Untuk sanggup memahami pembuktian rumus turunan fungsi trigonometri, sebaiknya anda memahami dulu bahan trigonometri serta limit fungsi trigonometri. Pada pembuktian kali ini, akan dibuktikan untuk turunan sinus (sin), cosinus (cos), dan tangen (tan).

Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Sinus

Misalkan fungsi $f(x) = sin x$, maka
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin(x + h) - sin x}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin x cos h + cos x sin h - sin x}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin x (cos h - 1) + cos x sin h}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin x (cos h - 1)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{cos x sin h}{h}$
$f'(x) = sin x \lim_{h \to 0} \frac{cos h - 1}{h} + cos x \lim_{h \to 0} \frac{sin h}{h}$
melaluiataubersamaini memakai perhitungan limit trigonometri, diperoleh bahwa
$\lim_{h \to 0} \frac{cos h - 1}{h} = 0$ dan $\lim_{h \to 0} \frac{sin h}{h} = 1$
Jika, dilanjutkan bentuk turunan terakhir akan menjadi
$f'(x) = sin x (0) + cos x (1)$
$f'(x) = cos x$
Jadi, diperoleh rumus turunan $f(x) = sin x$ adalah
$f'(x) = cos x$

Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Cosinus

Misalkan fungsi $f(x) = cos x$, maka
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x + h) - cos x}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos x cos h - sin x sin h - cos x}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos x (cos h - 1) - sin x sin h}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos x (cos h - 1)}{h} - \lim_{h \to 0} \frac{sin x sin h}{h}$
$f'(x) = cos x \lim_{h \to 0} \frac{ (cos h - 1)}{h} - sin x \lim_{h \to 0} \frac{ sin h}{h}$
$f'(x) = cos x (0) - sin x (1)$
$f'(x) = - sin x (1)$
Jadi, diperoleh rumus turunan $f(x) = cos x$ adalah
$f'(x) = - sin x (1)$

Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Tangen

Misalkan fungsi $f(x) = tan x$, maka
$f(x) = \frac{sin x}{cos x}$
Misal
$u = sin x$ maka $u' = cos x$
$v = cos x$ maka $v' = -sin x$
melaluiataubersamaini memakai rumus turunan hasil bagi diperoleh
$f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$
$f'(x) = \frac{cos x \cdot cos x - sin x \cdot (-sin x)}{(cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{cos^2 x + sin^2 x}{cos^2 x}$
$f'(x) = \frac{1}{cos^2 x}$
$f'(x) = sec^2 x$
Jadi, diperoleh rumus turunan $f(x) = tan x$ adalah
$f'(x) = sec^2 x$

melaluiataubersamaini cara yang hampir sama diperoleh rumus turunan trigonometri lainnya. Berikut ini yaitu rumus-rumus turunan trigonometri yang sangat bermanfaa dalam menuntaskan soal-soal nantinya
$f(x) = sin x$ maka $f'(x) = cos x$
$f(x) = cos x$ maka $f'(x) = -sin x$
$f(x) = tan x$ maka $f'(x) = sec^2 x$
$f(x) = cot x$ maka $f'(x) = -cosec^2 x$
$f(x) = sec x$ maka $f'(x) = sec x \cdot tan x$
$f(x) = cosec x$ maka $f'(x) = cosec x \cdot cot x$

Untuk lebih jelasnya terkena rumus-rumus di atas, perhatikan beberapa tumpuan soal beserta pembahasannya diberikut ini

misal 1
Tentukan turunan fungsi $f(x) = 2cos x - sin x + x^2$
Penyelesaian
$f'(x) = 2(-sin x) - cos x + 2x$
$f'(x) = -2sin x - cos x + 2x$

misal 2
Carilah $f'(x)$ dari fungsi $f(x) = \frac {cos x }{sin x + cos x}$!
Penyelesaian
Misal
$u = sin x$ maka $u' = cos x$
$v = sin x + cos x$ maka $v' = cos x - sin x$
$f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{(sin x - cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$
$f'(x) = \frac{cos x(sin x + cos x) - sin x(cos x - sin x)}{(sin x + cos x)^2}$
$f'(x) = \frac{sin x cos x - cos^2 x - sin x cos x + sin^2 x}{sin^2 x + 2sin x cos x + cos^2 x}$
$f'(x) = \frac{ - cos^2 x  + sin^2 x}{sin^2 x + cos^2 x + 2sin x cos x }$
$f'(x) = \frac{ - (1 - sin^2 x)  + sin^2 x}{1 + 2sin x cos x }$
$f'(x) = \frac{ - 1 + sin^2 x  + sin^2 x}{1 + 2sin x cos x }$
$f'(x) = \frac{ - 1 + 2 sin^2 x}{1 + 2sin x cos x }$
$f'(x) = \frac{ 2 sin^2 x -1}{1 + sin2x }$

misal 3
Turunan dari $f(x) = cos 6x $ yaitu ...
Penyelesaian
$f'(x) = 6 (-sin 6x)$
$f'(x) = -6 sin 6x$

misal 4
Tentukan turunan pertama dari $f(x) = tan^2 x$!
Penyelesaian
Untuk tumpuan soal 3, sanggup diselesaikan dengan hukum rantai
Misal
$u = tan x$ maka $u' = sec^2 x$
$f(x) = u^2 $
$f'(x) = 2u u' $
$f'(x) = 2tan x sec^2 x$

misal 5
Turunan pertama fungsi $y = cos(2x^3 - x^2)$ yaitu ...
Penyelesaian
Misal
$u = 2x^3 - x^2$ maka $u' = 6x^2 - 2x$
$y = cos u$
$y = (6x^2 - 2x) (-sin(2x^3 - x^2))$
$y = -(6x^2 - 2x) sin(2x^3 - x^2)$

misal 6
Carilah $\frac{dy}{dx}$ fungsi $y = x^2 sin 3x$!
Penyelesaian
Misal
$u = x^2$ maka $u' = 2x$
$v = sin 3x$ maka $v' = 3cos x$
$\frac{dy}{dx} = u' \cdot v + u \cdot v'$
$\frac{dy}{dx} = 2x \cdot sin 3x + x^2 \cdot 3cos x$
$\frac{dy}{dx} = 2x sin 3x + 3x^2 cos x$
Demikianlah terkena turunan fungsi trigonometri, dalam artikel lainnya akan dibahas terkena penerapan turunan untuk memilih gradien garis singgung kurva, fungsi naik dan turun, serta nilai statsioner.

Tweet

Subscribe to receive free email updates: