Cara Menunjukan Suatu Rumus Dengan Induksi Matematika

Dalam bahan deret aritmetika maupun deret geometri kita mengenal adanya jumlah n suku pertama atau yang dinotasikan dengan Sn. Selanjutnya jumlah dari deret bilangan-bilangan juga dinotasikan dengan notasi sigma (S). Untuk lebih lengkapnya notasi sigma dituliskan menyerupai diberikut ini

melaluiataubersamaini n ialah batas atas penjumlahan dan i = 1 ialah batas bawah penjumlahan serta nilai n ³ i. Batas bawah penjumlahan tidak harus dimulai dari 1, sanggup pula dimulai dari bilangan bulat yang lain.

Dari penjumlahan deret bilangan tersebut munculah rumus atau teorema umum yang menyatakan jumlah atau S_n. Namun, apakah suatu rumus penjumlahan tersebut sanggup mewakili suatu penjumlahanan suatu deret? Maka dari itu rumus-rumus tersebut perlu dibuktikan kebenarannya. Untuk mengambarkan kebenarannya kita sanggup memakai induksi matematika.
Dalam mengambarkan suatu rumus dengan induksi matematika kita harus mengikuti beberapa langkah diberikut

Langkah Pertama
Tunjukkan bahwa rumus yakni benar untuk n = 1.

Langkah Kedua
Misalkan rumus tersebut berlaku untuk n = k

Langkah Ketiga
Buktikanlah bahwa rumus tersebut berlaku juga untuk n = k + 1

Jika kedua langkah itu sudah dibuktkan, sanggup diambil kesimpulan bahwa rumus atau teorema S_n adalah benar untuk setiap bilangan orisinil n. Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa teladan soal diberikut

misal 1
Buktikan dengan induksi matematika bahwa 6 + 10 + 14 + … + (4n + 2) = 2n² + 4n berlaku untuk tiruana n bilangan asli
Penyelesaian
Langkah Pertama, Tunjukkan bahwa rumus yakni benar untuk n = 1.
Kita akan menunjukkanya secara bersamaan dari ruas kiri dan ruas kanan
4n + 2 = 2n² + 4n
4(1) + 2 = 2(1)² + 4(1)
6 = 2 + 4
6 = 6 (benar)
Langkah Kedua, Misalkan rumus tersebut berlaku untuk n = k
6 + 10 + 14 + … + (4k + 2) = 2k² + 4k
Langkah Ketiga, Buktikanlah bahwa rumus tersebut berlaku juga untuk n = k + 1
Agar lebih praktis dan mengurangi resiko kesalahan didalam pengerjaan sebaiknya untuk langkah ketiga dikerjakan secara terpisah, kemudian dicocokan apakah ruas kiri sama dengan ruas kanan. melaluiataubersamaini substitusi n = k + 1 maka diperoleh
6 + 10 + 14 + … + (4k + 2) + (4(k+1) + 2) = 2(k + 1)² + 4(k + 1)
Ruas kiri
6 + 10 + 14 + … + (4k + 2) + (4(k+1) + 2) = (2k² + 4k) +(4k + 4 + 2)
(ingat 6 + 10 + 14 + … + (4k + 2) = 2k² + 4k)
= (2k² + 4k) +(4k + 6)
= 2k² + 8k + 6
Ruas kanan
2(k + 1)² + 4(k + 1) = 2(k² + 2k + 1) + 4k + 4
= 2k² + 4k + 2 + 4k + 4
= 2k² + 8k + 6
Ruas kiri sama dengan ruas kanan yaitu 2k² + 8k + 6 (benar)
melaluiataubersamaini demikian terbukti bahwa 6 + 10 + 14 + … + (4n + 2) = 2n² + 4n berlaku untuk tiruana n bilangan asli

misal 2
Buktikan bentuk notasi sigma di bawah ini dengan induksi matematika

Penyelesaian
Langkah Pertama, Tunjukkan bahwa rumus yakni benar untuk n = 1.
2(1) = 1(1 + 1)
2 = 2 (benar)
Langkah Kedua, Misalkan rumus tersebut berlaku untuk n = k

Langkah Ketiga, Buktikanlah bahwa rumus tersebut berlaku juga untuk n = k + 1

Ruas kiri

Ruas kanan

Ruas kiri sama dengan ruas kanan. sehingga terbukti.