Geometri Transformasi: Refleksi
Bercermin mungkin menjadi aktifitas harian bagi kita apalagi bagi para wanita. Ketika bercermin yang kita lihat yaitu bayangan kita pada cermin yang sanggup dipastikan menyerupai dan tanpa perubahan apapun. Dalam fisika bayangan yang berada dalam cermin tersebut dikatakan "maya". Posisi bab badan pada bayangan umunya terbalik contohnya asisten yang terletak di kiri namun, untuk posisi kepala dan kaki tidak ikut terbalik. Jarak antara bayangan dengan cermin terlihat sama dengan jarak antara badan kita dengan cermin.
Geometri transformasi juga mempelajari pencerminan atau dikenal pula dengan refleksi. Refleksi atau pencerminan ialah salah satu transformasi yang juga tidak merubah ukuran maupun bentuk sama halnya dengan pergeseran atau translasi. Refleksi yaitu suatu transformasi dengan memasangkan setiap titik pada bidang yang memakai sifat bayangan cermin dari titik-titik tersebut.
[Baca: Geometri Transformasi: Translasi]
[Baca: Geometri Transformasi: Translasi]
Refleksi suatu bangkit mempunyai sifat-sifat
- Bangun dengan bayangannya yaitu kongruen, sehingga luas dan kelilingnya juga sama
- Jarak bangkit ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin
- sudut yang dibuat oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya yaitu sudut siku-siku.
Nah, dengan memakai sifat-sifat di atas kita sanggup memilih bayangan suatu bangun. Untuk lebih jelasnya diberikut ini yaitu beberapa pencerminan dalam bidang kartesius.
Pencerminan Terhadap Sumbu-x
Pencerminan terhadap sumbu-x yang dimaksudkan yaitu bahwa sumbu-x pada bidang kartesius berperan sebagai cermin. Misalkan A(a, b) ialah satu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik A terhadap sumbu-x akan menghasilkan bayangan yaitu A'(a', b') dimana a' = a dan b' = -b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar diberikut.
Dari gambar terlihat jikalau spesialuntuk nilai ordinat yang berubah pada bayangan sedangkan nilai absisnya sama dengan yang asli. melaluiataubersamaini demikian, pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu-x sanggup ditulis
$A(a, b) \xrightarrow[]{sumbu-x} A'(a, -b)$
Sedangkan, matriks transformasinya sanggup ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Pencerminan Terhadap Sumbu-y
Dalam hal ini, sumbu-y sebagai cermin. Misalkan B(a, b) ialah suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik B terhadap sumbu-x akan menghasilkan bayangan B'(a', b') dengan a' = -a dan b' = b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar diberikut
Pencerminan titik B(a, b) terhadap sumbu-y sanggup ditulis
$B(a, b) \xrightarrow[]{sumbu-y} B'(-a, b)$
Sedangkan, matriks transformasinya sanggup ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Sedangkan, matriks transformasinya sanggup ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Pencerminan Terhadap Garis y = x
Misalkan titik C(a,b) ialah suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik C terhadap garis x = y menghasilkan bayangan C'(a', b') dengan a' = b dan b' = a. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar diberikut
Pencerminan titik C(a, b) terhadap garis y = x sanggup ditulis
$C(a, b) \xrightarrow[]{y = x} C'(b, a)$
Sedangkan, matriks transformasinya sanggup ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0 &1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0 &1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Pencerminan Terhadap Garis y = -x
Misalkan titik D(a,b) ialah suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik D terhadap garis x = y menghasilkan bayangan D'(a', b') dengan a' = -b dan b' = -a. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar diberikut
Pencerminan titik D(a, b) terhadap garis y = -x sanggup ditulis
$D(a, b) \xrightarrow[]{y = -x} D'(-b, -a)$
Sedangkan, matriks transformasinya sanggup ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0 &-1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0 &-1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Pencerminan Terhadap Garis x = h
Misalkan titik E(a,b) ialah suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik E terhadap garis x = h menghasilkan bayangan E'(a', b') dengan a' = 2h - a dan b' = b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar diberikut
Pencerminan titik E(a, b) terhadap garis x = h sanggup ditulis
$E(a, b) \xrightarrow[]{x = h} E'(2h - a, b)$
Sedangkan, matriks transformasinya sanggup ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2h\\ 0
\end{pmatrix}$
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2h\\ 0
\end{pmatrix}$
Pencerminan Terhadap Garis y = k
Misalkan titik F(a,b) ialah suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik F terhadap garis y = k menghasilkan bayangan F'(a', b') dengan a' = a dan b' = 2k - b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar diberikut
Pencerminan titik F(a, b) terhadap garis y = k sanggup ditulis
$F(a, b) \xrightarrow[]{y = k} F'(a, 2k - b)$ Sedangkan, matriks transformasinya sanggup ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0\\ 2k
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0\\ 2k
\end{pmatrix}$
Pencerminan Terhadap Titik O(0,0)
Pencerminan tidak selalu terhadap garis atau sumbu, pencerminan sanggup dilakukan terhadap titik. Misalkan titik G(a,b) ialah suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik G terhadap titik O(0, 0) atau titik asal akan menghasilkan bayangan G'(a', b') dengan a' = -a dan b' = -b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar diberikut.
Perhatikan, apabila melalui titik G dan O dibuat suatu garis, bayangan dari G yaitu G' dimana panjang GO = G'O dan titik G, O, dan G' yaitu titik-titik yang segaris. Pencerminan titik G(a, b) terhadap titik asal O(0,0) sanggup ditulis
$G(a, b) \xrightarrow[]{O(0,0)} G'(-a, - b)$
Sedangkan, matriks transformasinya sanggup ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Sedangkan, matriks transformasinya sanggup ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Pencerminan Terhadap Titik T(p, q)
Pencerminan terhadap titik T(p, q) prinsipnya sama menyerupai pencerminan terhadap titik asal. Misalkan titik H(a,b) ialah suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik H terhadap titik T(p, q) atau titik asal akan menghasilkan bayangan H'(a', b') dengan a' = 2p - a dan b' = 2q - b. Pencerminan titik H(a, b) terhadap titik asal T(p, q) sanggup ditulis
$H(a, b) \xrightarrow[]{T(p, q)} H'(2p - a, 2p - b)$
Sedangkan, matriks transformasinya sanggup ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2p\\ 2q
\end{pmatrix}$
Semua pencerminan di atas, sanggup dilihat dengan simpel dengan memakai tabel diberikut. Misalkan (x, y) ialah titik yang akan dicerminkan maka
Sedangkan, matriks transformasinya sanggup ditulis
$\begin{pmatrix}
a'\\ b'
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-1 &0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2p\\ 2q
\end{pmatrix}$
Semua pencerminan di atas, sanggup dilihat dengan simpel dengan memakai tabel diberikut. Misalkan (x, y) ialah titik yang akan dicerminkan maka
| No | Pencerminan Terhadap | Bayangan (x, y) |
|---|---|---|
| 1 | Sumbu-x | (x, -y) |
| 2 | Sumbu-y | (-x, y) |
| 3 | Garis y = x | (y, x) |
| 4 | Garis y = -x | (-y, -x) |
| 5 | Garis x = h | (2h - x, y) |
| 6 | Garis y = k | (x, 2k - y) |
| 7 | Titik O(0, 0) | (-x, -y) |
| 8 | Titik T(p, q) | (2p - x, 2q - y) |
melaluiataubersamaini memakai tabel di atas, kita sanggup melihat rumus pencerminan dengan simpel dan untuk menuntaskan soal-soal kita tinggal melihat tabel tersebut. Agar lebih memahami penerapanya dalam soal, diberikut akan disajikan beberapa rujukan soal terkait pencerminan atau refleksi.
misal 1
Tentukan bayangan titik A(2, 3) yang dicerminkan oleh garis y = -x!
Penyelesaian
A(2, 3) berarti x = 2 dan y = 3
x' = -y = -3
y' = -x = -2
Jadi, bayangan titik A(2, 3) yaitu A'(-3, -2)
misal 2
Jika bayangan pencerminan terhadap titik P(-2, 1) yaitu B'(6, 5). Tentukan titik B!
Penyelesaian
B'(6, 5) berarti x' = 6 dan y' = 5
x' = 2p - x , sehingga x = 2p - x' = 2(-2) - 6 = -10
y' = 2q - y, sehingga y = 2q - y' = 2(1) - 5 = -3
Jadi, titik B yaitu (-10, -3)
misal 3
Tentukan bayangan dari garis y = 2x - 3 yang dicerminkan terhadap garis x = 3!
Penyelesaian
Pencerminan terhadap garis x = 3
x' = 2h - x, sehingga x = 2h - x' = 2(3) - x' = 6 - x'
y' = y atau y = y'
Substitusi x dan y ke persamaan garis
y' = 2(6 - x') - 3
y' = 12 - 2x' - 3
y' = -2x' + 9
Jadi, bayangan dari garis y = 2x - 3 yaitu y = -2x + 9
misal 4
Tentukan bayangan lingkaran x$^{2}$ + y$^{2}$ - 2x + 4y - 3 = 0 yang direfleksikan terhadap sumbu-y!
Penyelesaian
Pencerminan terhadap sumbu-y
x' = -x, sehingga x = -x'
y' = y atau y = y'
Substitusi x dan y ke dalam persamaan lingkaran
(-x')$^{2}$ + y'$^{2}$ - 2(-x') + 4y' - 3 = 0
x'$^{2}$ + y'$^{2}$ + 2x' + 4y' - 3 = 0
Jadi, bayangan bulat adalah x$^{2}$ + y$^{2}$ + 2x + 4y - 3 = 0
Sebenarnya, masih ada pencerminan yang belum di bahas yaitu pencerminan terhadap y = mx + c dan y = mx. Mengenai hal itu akan dibahas pada artikel yang lain. Demikianlah bahasan terkena refleksi atau pencerminan yang mencakup pencerminan terhadap sumbu-x, sumbu-y, garis x = y, garis y = -x, garis x = h, garis y = k, titik asal O(0, 0), dan terhadap titik T(p, q). Semoga bermanfaa.
0 Response to "Geometri Transformasi: Refleksi"
Posting Komentar