Pencerminan Terhadap Garis Y = Mx + C
Telah dijelaskan pada artikel sebelumya menunjukan terkena pencerminan terhadap sumbu x, sumbu y, garis y = x, garis y = -x, garis x = h, garis y = k, titik asal (0, 0), dan titik T(p, q).
[Baca : Geometri Transformasi: Refleksi]
Selanjutnya, akan dibahas terkena pencerminan atau refleksi terhadap garis y = mx + c. Untuk memahami pencerminan atau refleksi terhadap garis y = mx + c maka sebelumnnya anda harus paham terkena trigonometri dan persamaan garis lurus.
Perbandingan trigonometri ibarat sinus (sin), cosinus (cos), dan tangen (tan) serta istilah dalam persamaan garis lurus yaitu gradien (m) akan dilibatkan dalam memilih bayangan dari pencerminan terhadap garis y = mx + c. Serta tidak lupa, penjumlahan dan perkalian matriks. Kaprikornus sebelum mempelajari pencerminan terhadap garis y = mx + c, sebaiknya anda ingat-ingat kembali materi-materi yang sudah disebutkan tadi.
Jika P(x, y) ialah titik yang dicerminkan terhadap garis y = mx + c sehingga bayanganya ialah P'(x', y') dengan S ialah titik potong garis y = mx + c dengan sumbu x dan Q ialah titik potong antara garis PP' dengan garis y = mx + c. $\alpha$ ($\angle$ QSR) ialah sudut antara garis y = mx + c dengan sumbu x dan $\theta$ ($\angle$ PSR) ialah sudut antara garis PS dengan sumbu x. Karena P' ialah bayangan dari pencerminan P terhadap garis y = mx + c maka sudut antara SP' ($\angle$ P'SR') dengan sumbu x ialah 2$\alpha$ - $\theta$. Koordinat titik S didapat dari
Karena berpotongan dengan sumbu x, maka y = 0
0 = mx + c
mx = -c
x = $-\frac{c}{m}$
Sehingga, koordinat S ialah ($-\frac{c}{m}$, 0)
Kemudian, kita akan mencari bayangan dari P(x, y) yaitu P'(x', y') dengan memanfaatkan segitiga-segitiga yang terbentuk dari titik pada gambar di atas. Yang perlu dipahami ialah segitiga PSP' ialah segitiga sama kaki dengan panjang SP = SP' (karena sifat pencerminan)
Dari segitiga PSR diperoleh
cos $\theta$ = $\frac{SR}{SP}$
SR = SP cos $\theta$
x + $\frac{c}{m}$ = SP cos $\theta$
sin $\theta$ = $\frac{PR}{SP}$
PR = SP sin $\theta$
y = SP sin $\theta$
Dari dua persamaan di atas juga diperoleh bahwa
Karena SP = SP', maka
x + $\frac{c}{m}$ = SP' cos $\theta$
y = SP' sin $\theta$
Berikutnya, kita akan memakai segitiga R'SP', dari segitiga ini diperoleh
cos (2$\alpha$ - $\theta$) = $\frac{SR'}{SP'}$
SR' = SP' cos (2$\alpha$ - $\theta$)
x' + $\frac{c}{m}$ = SP' cos (2$\alpha$ - $\theta$)
x' + $\frac{c}{m}$ = SP' cos 2$\alpha$ cos $\theta$ + SP' sin 2$\alpha$ sin $\theta$
x' + $\frac{c}{m}$ = SP' cos $\theta$ cos 2$\alpha$ + SP' sin $\theta$ sin 2$\alpha$
x' + $\frac{c}{m}$ = (x + $\frac{c}{m}$) cos 2$\alpha$ + y sin 2$\alpha$
x' + $\frac{c}{m}$ = x cos 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ cos 2$\alpha$ + y sin 2$\alpha$
x' = x cos 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ cos 2$\alpha$ + y sin 2$\alpha$ - $\frac{c}{m}$
x' = x cos 2$\alpha$ + y sin 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ (cos 2$\alpha$ - 1)
sin (2$\alpha$ - $\theta$) = $\frac{P'R}{SP'}$
PR' = SP' sin (2$\alpha$ - $\theta$)
y' = SP' sin 2$\alpha$ cos $\theta$ - SP' cos 2$\alpha$ sin $\theta$
y' = SP' cos $\theta$ sin 2$\alpha$ - SP' sin $\theta$ cos 2$\alpha$
y' = (x + $\frac{c}{m}$) sin 2$\alpha$ - y cos 2$\alpha$
y' = x sin 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ sin 2$\alpha$ - y cos 2$\alpha$
Jadi, diperoleh koordinat dari P'(x', y') dengan
x' = x cos 2$\alpha$ + y sin 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ (cos 2$\alpha$ - 1)
y' = x sin 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ sin 2$\alpha$ - y cos 2$\alpha$
Dari nilai x' dan y' di atas, persamaan matriks yang bersesuaian dengan nilai tersebut adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
cos 2\alpha&sin2\alpha \\
sin 2\alpha& -cos 2\alpha
\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ + $\frac{c}{m}\begin{pmatrix}
cos 2\alpha - 1\\sin2\alpha
\end{pmatrix}$
Nah, demikianlah tadi pembuktian atau cara memilih bayangan pencerminan terhadap garis y = mx + c, dengan gradien atau m = tan$\alpha$. Untuk lebih memahaminya perhatikan pola soal diberikut!
misal
Tentukan bayangan dari pencerminan titik A(-8, 10) terhadap garis y = xtan15$^{o}$!
Penyelesaian
y = xtan15$^{o}$
m = tan15$^{o}$ = 2 - $\sqrt{3}$
$\alpha $ = 30$^{o}$
c = 0
sin 2$\alpha$ = sin 30 = $\frac{1}{2}$
cos 2$\alpha$ = cos 30 = $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
A(-8, 10) maka x = -8 dan y = 10
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
cos 2\alpha&sin2\alpha \\
sin 2\alpha& -cos 2\alpha
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ + $\frac{c}{m}\begin{pmatrix}
cos 2\alpha - 1\\sin2\alpha
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2} \\
\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\sqrt{3}
\end{pmatrix} $$\begin{pmatrix}
-8\\10
\end{pmatrix}$ +$ \frac{0}{2 - \sqrt{3}}\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\sqrt{3} - 1\\sin2\alpha
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
-4\sqrt{3}+5\\-4-5\sqrt{3}
\end{pmatrix}$ +$ 0$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
-4\sqrt{3}+5\\-4-5\sqrt{3}
\end{pmatrix}$
Perhatikan bahwa kalau Q ialah titik potong garis y = mx + c dengan PP', alasannya ialah Q ialah titik tengah dari PP' atau PQ = P'Q maka koordinat Q sanggup ditentukan dengan
Q = $(\frac{x + x'}{2}$, $\frac{y + y'}{2})$
Karena Q ialah titik yang dilalui y = mx + c, maka apabila Q disubstitusikan kedalam persamaan garis y = mx + c akan memenuhi
$\frac{y + y'}{2}$ = m $(\frac{x + x'}{2})$ + c
y + y' = m(x + x') + 2c ........................(1)
Garis y = mx + c tegak lurus dengan garis PP', dimana gradien y = mx + c adalah m sedangkan gradien PP' ialah $\frac{x - x'}{y - y'}$ maka
m $\times$ $\frac{y - y'}{x - x'}$ = -1
y - y' = $\frac{-1(x - x')}{m}$
y' = y - $\frac{-1(x - x')}{m}$
y' = y - $\frac{x' - x}{m}$ ........................(2)
Substitusi (2) ke (1)
y + y - $\frac{x' - x}{m}$ = m(x + x') + 2c
2y - $\frac{x' - x}{m}$ = m(x + x') + 2c
2my - (x' - x) = m$^{2}$(x + x') + 2mc
2my - x' + x = m$^{2}$x + m$^{2}$x' + 2mc
2my + x - m$^{2}$x - 2mc = m$^{2}$x' + x'
2my - 2mc + x - m$^{2}$x = (m$^{2}$ + 1)x'
2m(y - c) + x(1 - m$^{2}$) = (m$^{2}$ + 1)x'
x' = $\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2})}{m^{2} + 1}$
atau
x' = $\frac{x(1 - m^{2}) + 2m(y - c)}{m^{2} + 1}$
Kemudian substitusikan x' ke (2)
y' = y - $\frac{\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2})}{m^{2} + 1} - x}{m}$
y' = y - $\frac{\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2}) - x(m^{2} + 1)}{m^{2} + 1}}{m}$
y' = y - $\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2}) - x(m^{2}+ 1)}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{ym(m^{2} + 1) - (2m(y - c) + x(1 - m^{2}) - x(m^{2}+ 1))}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m(y(m^{2} + 1) - 2(y - c)) - x + m^{2}x + m^{2}x + x}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m(m^{2}y + y - 2y + 2c) + 2m^{2}x}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m(m^{2}y - y + 2c + 2mx)}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m^{2}y - y + 2c + 2mx}{m^{2} + 1}$
y' = $\frac{2mx + y(m^{2} - 1) + 2c }{m^{2} + 1}$
atau
y' = $\frac{2mx - y(1 - m^{2}) + 2c }{m^{2} + 1}$
Jadi, bayangan dari P(x, y) atau koordinat dari P'adalah
(x', y') = $(\frac{x(1 - m^{2}) + 2m(y - c)}{m^{2} + 1}$, $\frac{2mx - y(1 - m^{2}) + 2c }{m^{2} + 1})$
Untuk lebih jelasnya perhatikan pola diberikut
misal 2
Tentukan bayangan dari titik B(0, 8) dari pencerminan terhadap y = 2x + 3!
Penyelesaian
B(0, 8) maka x = 0 dan y = 8
y = 2x + 3 maka m = 2 dan c = 3
x' = $\frac{x(1 - m^{2}) + 2m(y - c)}{m^{2} + 1}$
x' = $\frac{0(1 - 2^{2}) + 2(2)(8 - 3)}{2^{2} + 1}$
x' = $\frac{0 + 20}{4 + 1}$
x' = 4
y' = $\frac{2mx + y(m^{2} - 1) + 2c }{m^{2} + 1}$
y' = $\frac{2(2)(0) + 8(2^{2} - 1) + 2(3) }{2^{2} + 1}$
y' = $\frac{0+ 24 + 6 }{4 + 1}$
y' = 6
Jadi, bayangan dari B ialah (4, 6)
Nah, demikianlah tadi terkena penurunan rumus pencerminan terhadap garis y = mx + c. Semoga bermanfaa.
[Baca : Geometri Transformasi: Refleksi]
Selanjutnya, akan dibahas terkena pencerminan atau refleksi terhadap garis y = mx + c. Untuk memahami pencerminan atau refleksi terhadap garis y = mx + c maka sebelumnnya anda harus paham terkena trigonometri dan persamaan garis lurus.
Pencerminan Terhadap Garis y = mx + c dengan m = tan$\alpha$
Nah, kini coba perhatikan gambar diberikut!
Karena berpotongan dengan sumbu x, maka y = 0
0 = mx + c
mx = -c
x = $-\frac{c}{m}$
Sehingga, koordinat S ialah ($-\frac{c}{m}$, 0)
Kemudian, kita akan mencari bayangan dari P(x, y) yaitu P'(x', y') dengan memanfaatkan segitiga-segitiga yang terbentuk dari titik pada gambar di atas. Yang perlu dipahami ialah segitiga PSP' ialah segitiga sama kaki dengan panjang SP = SP' (karena sifat pencerminan)
Dari segitiga PSR diperoleh
cos $\theta$ = $\frac{SR}{SP}$
SR = SP cos $\theta$
x + $\frac{c}{m}$ = SP cos $\theta$
sin $\theta$ = $\frac{PR}{SP}$
PR = SP sin $\theta$
y = SP sin $\theta$
Dari dua persamaan di atas juga diperoleh bahwa
Karena SP = SP', maka
x + $\frac{c}{m}$ = SP' cos $\theta$
y = SP' sin $\theta$
Berikutnya, kita akan memakai segitiga R'SP', dari segitiga ini diperoleh
cos (2$\alpha$ - $\theta$) = $\frac{SR'}{SP'}$
SR' = SP' cos (2$\alpha$ - $\theta$)
x' + $\frac{c}{m}$ = SP' cos (2$\alpha$ - $\theta$)
x' + $\frac{c}{m}$ = SP' cos 2$\alpha$ cos $\theta$ + SP' sin 2$\alpha$ sin $\theta$
x' + $\frac{c}{m}$ = SP' cos $\theta$ cos 2$\alpha$ + SP' sin $\theta$ sin 2$\alpha$
x' + $\frac{c}{m}$ = (x + $\frac{c}{m}$) cos 2$\alpha$ + y sin 2$\alpha$
x' + $\frac{c}{m}$ = x cos 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ cos 2$\alpha$ + y sin 2$\alpha$
x' = x cos 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ cos 2$\alpha$ + y sin 2$\alpha$ - $\frac{c}{m}$
x' = x cos 2$\alpha$ + y sin 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ (cos 2$\alpha$ - 1)
sin (2$\alpha$ - $\theta$) = $\frac{P'R}{SP'}$
PR' = SP' sin (2$\alpha$ - $\theta$)
y' = SP' sin 2$\alpha$ cos $\theta$ - SP' cos 2$\alpha$ sin $\theta$
y' = SP' cos $\theta$ sin 2$\alpha$ - SP' sin $\theta$ cos 2$\alpha$
y' = (x + $\frac{c}{m}$) sin 2$\alpha$ - y cos 2$\alpha$
y' = x sin 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ sin 2$\alpha$ - y cos 2$\alpha$
Jadi, diperoleh koordinat dari P'(x', y') dengan
x' = x cos 2$\alpha$ + y sin 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ (cos 2$\alpha$ - 1)
y' = x sin 2$\alpha$ + $\frac{c}{m}$ sin 2$\alpha$ - y cos 2$\alpha$
Dari nilai x' dan y' di atas, persamaan matriks yang bersesuaian dengan nilai tersebut adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
cos 2\alpha&sin2\alpha \\
sin 2\alpha& -cos 2\alpha
\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ + $\frac{c}{m}\begin{pmatrix}
cos 2\alpha - 1\\sin2\alpha
\end{pmatrix}$
Nah, demikianlah tadi pembuktian atau cara memilih bayangan pencerminan terhadap garis y = mx + c, dengan gradien atau m = tan$\alpha$. Untuk lebih memahaminya perhatikan pola soal diberikut!
misal
Tentukan bayangan dari pencerminan titik A(-8, 10) terhadap garis y = xtan15$^{o}$!
Penyelesaian
y = xtan15$^{o}$
m = tan15$^{o}$ = 2 - $\sqrt{3}$
$\alpha $ = 30$^{o}$
c = 0
sin 2$\alpha$ = sin 30 = $\frac{1}{2}$
cos 2$\alpha$ = cos 30 = $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
A(-8, 10) maka x = -8 dan y = 10
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
cos 2\alpha&sin2\alpha \\
sin 2\alpha& -cos 2\alpha
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$ + $\frac{c}{m}\begin{pmatrix}
cos 2\alpha - 1\\sin2\alpha
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2} \\
\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\sqrt{3}
\end{pmatrix} $$\begin{pmatrix}
-8\\10
\end{pmatrix}$ +$ \frac{0}{2 - \sqrt{3}}\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\sqrt{3} - 1\\sin2\alpha
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
-4\sqrt{3}+5\\-4-5\sqrt{3}
\end{pmatrix}$ +$ 0$
$\begin{pmatrix}
x'\\y'
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
-4\sqrt{3}+5\\-4-5\sqrt{3}
\end{pmatrix}$
Jadi, bayangan dari A ialah ($-4\sqrt{3}+5$, $-4-5\sqrt{3}$)
Pencerminan Terhadap Garis y = mx + c
Untuk memilih bayangan dari pencerminan terhadap garis y = mx + c, kita sanggup memanfaatkan koordinat perpotongan garis y = mx + c dengan garis yang terbentuk antara titik yang dicerminkan dengan bayangannya. Karena sifat pencerminan maka kedua garis tersebut saling berpotongan tegak lurus. Coba perhatikan gambar diberikut
Q = $(\frac{x + x'}{2}$, $\frac{y + y'}{2})$
Karena Q ialah titik yang dilalui y = mx + c, maka apabila Q disubstitusikan kedalam persamaan garis y = mx + c akan memenuhi
$\frac{y + y'}{2}$ = m $(\frac{x + x'}{2})$ + c
y + y' = m(x + x') + 2c ........................(1)
Garis y = mx + c tegak lurus dengan garis PP', dimana gradien y = mx + c adalah m sedangkan gradien PP' ialah $\frac{x - x'}{y - y'}$ maka
m $\times$ $\frac{y - y'}{x - x'}$ = -1
y - y' = $\frac{-1(x - x')}{m}$
y' = y - $\frac{-1(x - x')}{m}$
y' = y - $\frac{x' - x}{m}$ ........................(2)
Substitusi (2) ke (1)
y + y - $\frac{x' - x}{m}$ = m(x + x') + 2c
2y - $\frac{x' - x}{m}$ = m(x + x') + 2c
2my - (x' - x) = m$^{2}$(x + x') + 2mc
2my - x' + x = m$^{2}$x + m$^{2}$x' + 2mc
2my + x - m$^{2}$x - 2mc = m$^{2}$x' + x'
2my - 2mc + x - m$^{2}$x = (m$^{2}$ + 1)x'
2m(y - c) + x(1 - m$^{2}$) = (m$^{2}$ + 1)x'
x' = $\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2})}{m^{2} + 1}$
atau
x' = $\frac{x(1 - m^{2}) + 2m(y - c)}{m^{2} + 1}$
Kemudian substitusikan x' ke (2)
y' = y - $\frac{\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2})}{m^{2} + 1} - x}{m}$
y' = y - $\frac{\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2}) - x(m^{2} + 1)}{m^{2} + 1}}{m}$
y' = y - $\frac{2m(y - c) + x(1 - m^{2}) - x(m^{2}+ 1)}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{ym(m^{2} + 1) - (2m(y - c) + x(1 - m^{2}) - x(m^{2}+ 1))}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m(y(m^{2} + 1) - 2(y - c)) - x + m^{2}x + m^{2}x + x}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m(m^{2}y + y - 2y + 2c) + 2m^{2}x}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m(m^{2}y - y + 2c + 2mx)}{m(m^{2} + 1)}$
y' = $\frac{m^{2}y - y + 2c + 2mx}{m^{2} + 1}$
y' = $\frac{2mx + y(m^{2} - 1) + 2c }{m^{2} + 1}$
atau
y' = $\frac{2mx - y(1 - m^{2}) + 2c }{m^{2} + 1}$
Jadi, bayangan dari P(x, y) atau koordinat dari P'adalah
(x', y') = $(\frac{x(1 - m^{2}) + 2m(y - c)}{m^{2} + 1}$, $\frac{2mx - y(1 - m^{2}) + 2c }{m^{2} + 1})$
Untuk lebih jelasnya perhatikan pola diberikut
misal 2
Tentukan bayangan dari titik B(0, 8) dari pencerminan terhadap y = 2x + 3!
Penyelesaian
B(0, 8) maka x = 0 dan y = 8
y = 2x + 3 maka m = 2 dan c = 3
x' = $\frac{x(1 - m^{2}) + 2m(y - c)}{m^{2} + 1}$
x' = $\frac{0(1 - 2^{2}) + 2(2)(8 - 3)}{2^{2} + 1}$
x' = $\frac{0 + 20}{4 + 1}$
x' = 4
y' = $\frac{2mx + y(m^{2} - 1) + 2c }{m^{2} + 1}$
y' = $\frac{2(2)(0) + 8(2^{2} - 1) + 2(3) }{2^{2} + 1}$
y' = $\frac{0+ 24 + 6 }{4 + 1}$
y' = 6
Jadi, bayangan dari B ialah (4, 6)
Nah, demikianlah tadi terkena penurunan rumus pencerminan terhadap garis y = mx + c. Semoga bermanfaa.
0 Response to "Pencerminan Terhadap Garis Y = Mx + C"
Posting Komentar