Geometri Transformasi: Rotasi
Rotasi yaitu perputaran benda pada suatu sumbu yang tetap. Rotasi sanggup kita lihat misalnya perputaran gasing, perputaran bumi pada porosnya, bahkan matahari pun juga berotasi. Rotasi matahari berlansung selama 27 hari dalam 1 periode. Namun, rotasi kali ini bukan mengulas terkena rotasi pada gasing, bumi, ataupun matahari. Rotasi yang akan dibahas berkaitan dengan geometri transformasi.
Rotasi dalam kaitan geometri transformasi yaitu suatu transformasi yang memasangkan titik ke himpunan titik yang lainya dengan cara memutar. Bayangan hasil rotasi akan kongruen dengan aslinya sehingga Rotasi termasuk transformasi isometri sama menyerupai Translasi (Perpindahan) dan Refleksi (pencerminan)
[Baca : Geometri Transformasi: Translasi]
[Baca : Geometri Transformasi: Refleksi]
Rotasi pada suatu objek ditentukan oleh beberapa faktor yaitu
Dalam koodinat kartesius rotasi berdasarkan sumbu atau pusatnya dibedakan menjadi dua yaitu rotasi dengan sentra di O(0, 0) dan rotasi dengan sentra di A(a, b)
Dari gambar terlihat bahwa titik P dirotasi sejauh $\alpha$ terhadap titik pustat O(0, 0). $\theta$ adalah sudut antara sumbu-x dengan OP. P' yaitu bayangan dari P dan r yaitu jarak antara sentra dengan titik P dimana OP = OP' = r. Rotasi tersebut dinotasikan dengan
$P(x, y) \xrightarrow[]{R(O, \alpha )} P'(x', y')$
Dari titik P(x, y) dan sudutnya ($\theta$) diperoleh bahwa
x = r cos$\theta$
y = r sin$\theta$
Kemudian dari titik P' dan sudutnya ($\alpha$ + $\theta$) diperoleh
x' = r cos($\alpha$ + $\theta$)
x' = r cos$\alpha$ cos$\theta$ - r sin$\alpha$ sin$\theta$
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$
y' = r sin($\alpha$ + $\theta$)
y' = r sin$\alpha$ cos$\theta$ + r cos$\alpha$ sin$\theta$
y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
Kaprikornus rotasi P(x, y) sebesar $\alpha$ dengan sentra di O(0, 0) akan menghasilkan bayangan P'(x', y') dengan
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$
y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
Matriks yang bersesuaian dengan rotasi tersebut adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'
\end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix}
cos\alpha &-sin\alpha \\
sin\alpha & cos\alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\ y
\end{pmatrix}$
Selanjutnya, sudah diketahui bahwa terdapat beberapa nilai perbandingan trigonometri terutama pada sinus dan cosinus yang nantinya sanggup diselesaikan dengan gampang. Sudut-sudut besar rotasi yang simpel diselesaikan diantaranya -270$^{o}$, -180$^{o}$, -90$^{o}$, 0$^{o}$, 90$^{o}$, 180$^{o}$, dan 270$^{o}$ alasannya sudut-sudut tersebut akan bernilai -1, 0, 1 (Cobalah cari nilai sinus dan cosinus sudut-sudut tersebut). Sehingga didapat hasil rotasi dengan sentra di O(0, 0) menyerupai dalam tabel diberikut
Untuk lebih jelasnya terkena rotasi dengan sentra di O(0, 0) perhatikan rujukan diberikut
misal 1
Titik P(2, 10) dirotasi $\frac{\pi}{3}$ dengan sentra putar O(0, 0).
Penyelesaian
P(2, 10) maka x = 2 dan y = 10
sin $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{1}{2} \sqrt{3}$
cos $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{1}{2} $
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$
x' = 2 cos$\frac{\pi}{3}$ - y sin$\frac{\pi}{3}$
x' = 2 $\times$$\frac{1}{2} $ - 10 $\times$$\frac{1}{2} \sqrt{3}$
x' = 1 - 5$\sqrt{3}$
y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
y' = 2 sin$\frac{\pi}{3}$ + 10 cos$\frac{\pi}{3}$
y' = 2 $\times$$\frac{1}{2}\sqrt{3} $ + 10 $\times$$\frac{1}{2}$
y' = $\sqrt{3} $ + 5
Jadi, bayangan P yaitu (1 - 5$\sqrt{3}$, $\sqrt{3} $ + 5)
misal 2
Tentukan bayangan garis x - y + 3 = 0 dirotasi sebesar 90$^{o}$ dengan sentra putar pada O(0, 0)
Penyelesaian
Rotasi 90$^{o}$ dengan sentra putar pada O(0, 0), maka
x' = -y atau y = -x'
y' = x atau x = y'
Sehingga bayangannya
y' - (-x') + 3 = 0
x' + y' + 3 = 0
Jadi, bayangan garis x - y + 3 = 0 yaitu x + y + 3 = 0
Jika P(x, y) dirotasi sebesar $\alpha$ dengan sentra di A(a, b) dengan bayangan P'(x', y'), maka yang terjadi yaitu pergeseran sentra rotasi a untuk absisnya dan b untuk ordinatnya dari titik sentra O(0, 0). Sehingga diperoleh
x - a = r cos$\theta$
y - b = r sin$\theta$
serta
x' - a = r cos($\alpha$ + $\theta$)
x' - a = r cos$\alpha$ cos$\theta$ - r sin$\alpha$ sin$\theta$
x' - a = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$
x' = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$ + a
y' - b = r sin($\alpha$ + $\theta$)
y' - b = r sin$\alpha$ cos$\theta$ + r cos$\alpha$ sin$\theta$
y' - b = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$
y' = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$ + b
Kaprikornus rotasi P(x, y) sebesar $\alpha$ dengan sentra di A(a, b) akan menghasilkan bayangan P'(x', y') dengan
x' = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$ + a
y' = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$ + b
Matriks yang bersesuaian dengan rotasi tersebut adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
cos\alpha &-sin\alpha \\
sin\alpha & cos\alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x - a\\ y - b
\end{pmatrix}$+$\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
 |
| Rotasi Bumi |
Rotasi dalam kaitan geometri transformasi yaitu suatu transformasi yang memasangkan titik ke himpunan titik yang lainya dengan cara memutar. Bayangan hasil rotasi akan kongruen dengan aslinya sehingga Rotasi termasuk transformasi isometri sama menyerupai Translasi (Perpindahan) dan Refleksi (pencerminan)
[Baca : Geometri Transformasi: Translasi]
[Baca : Geometri Transformasi: Refleksi]
Rotasi pada suatu objek ditentukan oleh beberapa faktor yaitu
- Pusat Rotasi, yaitu berupa titik yang dipakai sebagai sentra dari rotasi
- Sudut Rotasi, yaitu besar sudut yang dipakai untuk memilih jauhnya rotasi
- Arah Rotasi, dalam hal ini arah rotasi sanggup bertanda kasatmata yang maksudnya berlawanan denganarah jarum jam dan bertanda negatif yang maksudnya yaitu serarah dengan jarum jam.
Dalam koodinat kartesius rotasi berdasarkan sumbu atau pusatnya dibedakan menjadi dua yaitu rotasi dengan sentra di O(0, 0) dan rotasi dengan sentra di A(a, b)
Rotasi melaluiataubersamaini Pusat di O(0, 0)
Perhatikan gambar di bawah!
$P(x, y) \xrightarrow[]{R(O, \alpha )} P'(x', y')$
Dari titik P(x, y) dan sudutnya ($\theta$) diperoleh bahwa
x = r cos$\theta$
y = r sin$\theta$
Kemudian dari titik P' dan sudutnya ($\alpha$ + $\theta$) diperoleh
x' = r cos($\alpha$ + $\theta$)
x' = r cos$\alpha$ cos$\theta$ - r sin$\alpha$ sin$\theta$
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$
y' = r sin($\alpha$ + $\theta$)
y' = r sin$\alpha$ cos$\theta$ + r cos$\alpha$ sin$\theta$
y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
Kaprikornus rotasi P(x, y) sebesar $\alpha$ dengan sentra di O(0, 0) akan menghasilkan bayangan P'(x', y') dengan
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$
y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
Matriks yang bersesuaian dengan rotasi tersebut adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'
\end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix}
cos\alpha &-sin\alpha \\
sin\alpha & cos\alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\ y
\end{pmatrix}$
Selanjutnya, sudah diketahui bahwa terdapat beberapa nilai perbandingan trigonometri terutama pada sinus dan cosinus yang nantinya sanggup diselesaikan dengan gampang. Sudut-sudut besar rotasi yang simpel diselesaikan diantaranya -270$^{o}$, -180$^{o}$, -90$^{o}$, 0$^{o}$, 90$^{o}$, 180$^{o}$, dan 270$^{o}$ alasannya sudut-sudut tersebut akan bernilai -1, 0, 1 (Cobalah cari nilai sinus dan cosinus sudut-sudut tersebut). Sehingga didapat hasil rotasi dengan sentra di O(0, 0) menyerupai dalam tabel diberikut
| No | Rotasi | Bayangan |
|---|---|---|
| 1 | R(O, -270$^{o}$) | (-y, x) |
| 2 | R(O, -180$^{o}$) | (-x, -y) |
| 3 | R(O, -90$^{o}$) | (y, -x) |
| 4 | R(O, 0$^{o}$) | (x, y) |
| 5 | R(O, 90$^{o}$) | (-y, x) |
| 6 | R(O, 180$^{o}$) | (-x, -y) |
| 7 | R(O, 270$^{o}$) | (y, -x) |
Untuk lebih jelasnya terkena rotasi dengan sentra di O(0, 0) perhatikan rujukan diberikut
misal 1
Titik P(2, 10) dirotasi $\frac{\pi}{3}$ dengan sentra putar O(0, 0).
Penyelesaian
P(2, 10) maka x = 2 dan y = 10
sin $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{1}{2} \sqrt{3}$
cos $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{1}{2} $
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$
x' = 2 cos$\frac{\pi}{3}$ - y sin$\frac{\pi}{3}$
x' = 2 $\times$$\frac{1}{2} $ - 10 $\times$$\frac{1}{2} \sqrt{3}$
x' = 1 - 5$\sqrt{3}$
y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
y' = 2 sin$\frac{\pi}{3}$ + 10 cos$\frac{\pi}{3}$
y' = 2 $\times$$\frac{1}{2}\sqrt{3} $ + 10 $\times$$\frac{1}{2}$
y' = $\sqrt{3} $ + 5
Jadi, bayangan P yaitu (1 - 5$\sqrt{3}$, $\sqrt{3} $ + 5)
misal 2
Tentukan bayangan garis x - y + 3 = 0 dirotasi sebesar 90$^{o}$ dengan sentra putar pada O(0, 0)
Penyelesaian
Rotasi 90$^{o}$ dengan sentra putar pada O(0, 0), maka
x' = -y atau y = -x'
y' = x atau x = y'
Sehingga bayangannya
y' - (-x') + 3 = 0
x' + y' + 3 = 0
Jadi, bayangan garis x - y + 3 = 0 yaitu x + y + 3 = 0
Rotasi melaluiataubersamaini Pusat di A(a, b)
Perhatikan gambar diberikut
x - a = r cos$\theta$
y - b = r sin$\theta$
serta
x' - a = r cos($\alpha$ + $\theta$)
x' - a = r cos$\alpha$ cos$\theta$ - r sin$\alpha$ sin$\theta$
x' - a = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$
x' = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$ + a
y' - b = r sin($\alpha$ + $\theta$)
y' - b = r sin$\alpha$ cos$\theta$ + r cos$\alpha$ sin$\theta$
y' - b = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$
y' = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$ + b
Kaprikornus rotasi P(x, y) sebesar $\alpha$ dengan sentra di A(a, b) akan menghasilkan bayangan P'(x', y') dengan
x' = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$ + a
y' = (x - a) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$ + b
Matriks yang bersesuaian dengan rotasi tersebut adalah
$\begin{pmatrix}
x'\\ y'
\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}
cos\alpha &-sin\alpha \\
sin\alpha & cos\alpha
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x - a\\ y - b
\end{pmatrix}$+$\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$
Agar, lebih memahaminya silahkan simak rujukan soal diberikut
misal 3
Tentukan bayangan P(2, -6) dirotasi 30$^{o}$ dengan sentra rotasi pada titik A(2, 4)!
Penyelesaian
P(2, -6) maka x = 2 dan y = -6
sin 30$^{o}$ = $\frac{1}{2} $
cos 30$^{o}$ = $\frac{1}{2} \sqrt{3}$
A(2, 4) maka a = 2 dan b = 4
x' = (x - a) cos$\alpha$ - (y - b) sin$\alpha$ + a
x' = (2 - 2) cos30$^{o}$ - (-6 - 4) sin30$^{o}$ + 2
x' = 0 - (-10)$\frac{1}{2} $ + 2
x' = 5 + 2
x' = 7
y' = (2 - 2) sin$\alpha$ + (y - b) cos$\alpha$ + b
y' = (2 - 2) sin30$^{o}$ + (-6 - 4) cos30$^{o}$ + 4
y' = 0 + (-10)$\frac{1}{2} \sqrt{3}$ + 4
y' = -5 $\sqrt{3}$ + 4
Jadi, bayangan dari P yaitu (7, -5 $\sqrt{3}$ + 4)
Demikianlah tadi terkena rotasi dengan sentra di O(0, 0) dan A(a, b). Semoga bermanfaa
0 Response to "Geometri Transformasi: Rotasi"
Posting Komentar