Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Terdapat tiga posisi atau kedudukan garis terhadap bulat yaitu, memotong bulat pada dua titik yang tidak sama, memotong bulat pada satu titik atau dikenal dengan menyinggung lingkaran, dan tidak memotong dan menyinggung lingkaran. Mengenai kedudukan garis terhadap bulat anda sanggup membaca lebih lngkap melalui artikel Posisi Titik dan Garis Terhadap Lingkaran

Sesuai dengan judul di atas, postingan kali ini akan mengulas terkena menetukan persamaan garis singgung bulat yang pada umumnya diajarkan pada tingkat SMA, sedangkan pada tingkat Sekolah Menengah Pertama biasanya diajarkan engenai cara memilih panjang garis singgung suatu bulat (Baca : Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran)

A. Garis Singgung Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran

1. Untuk bulat dengan sentra (0, 0) dan berjari-jari r

Misalkan titik P(x₁ , y₁) ialah titik yang terletak pada bulat L : x² + y² = r² . Untuk memilih persamaan garis singgung dalam hal ini kita sebut dengan garis g sanggup dilakukan dengan rumus  
x1 x + y1 y = r²
Untuk lebih jelasnya terkena penerapan rumus di atas perhatikan pola soal diberikut

misal 1
Tentukan persamaan garis singgung bulat x²  + y²  = 10 di titik (1, -3)
Penyelesaian
x1 x + y1 y = r²
(1)x + (-3)y = 10
x – 3y = 10
Jadi, persamaan garis singgungnya yaitu x – 3y = 10

2. Untuk bulat dengan sentra A(a, b) dan berjari-jari r

Jika L ialah sebuah bulat yang berpusat di (a, b) dengan persamaan L: (x – a)²  + (y – b)²  = r²  dan titik P (x1 , y1 ) ialah suatu titik yang terletak pada bulat L, maka persamaan garis singgung bulat yang melalui titik P sanggup ditentukan dengan rumus
(x – a)(x1  – a) + (y – b)(y1  – b) = r²
Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal diberikut

misal 2
Tentukan persamaan garis singgung (x + 2)²  + (y – 4)²  = 45 di titik (4, 1)
Penyelesaian
Dari persamaan bulat pada soal diperoleh sentra bulat (-2, 4), sehingga persamaan garis singgung lingkaranya menjadi
(x – a)(x1  – a) + (y – b)(y1  – b) = r²
(x – (-2))(4 – (-2)) + (y – 4)(1 – 4) = 45
(x + 4)(6) + (y – 4)(-3) = 45
6x + 24 - 3y + 12 = 45
6x – 3y + 36 = 45
6x – 3y = 9
Jadi, persamaan garis singgungnya yaitu 6x – 3y = 9

3. Untuk bulat yang ditetapkan dalam bentuk umum x²  + y²  + Ax + By + C = 0

Untuk memilih persamaan garis singgung bulat dengan persamaan x²  + y²  + Ax + By + C = 0 di titik P(x1, y1) sanggup dilakukan dengan memakai rumus
x1 x + y1 y + ½ A(x + x1 ) + ½ B(y + y1 ) + C = 0
Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal diberikut

misal 3
Tentukan persamaan garis singgung bulat x²  + y²  – 2x – 10y + 17 = 0 di titik (4, 5)
Penyelesaian
Dari persamaan x²  + y²  – 2x – 10y + 17 = 0 diperoleh nilai A = -2, B = -10 dan C = 17, shingga persamaan garis singgungnya sanggup ditentukan dengan
x1 x + y1 y + ½ A(x + x1 ) + ½ B(y + y1 ) + C = 0
4x + 5y + ½ (-2)(x + 4) + ½ (-10)(y + 5) + 17 = 0
4x + 5y – x – 4 – 5y – 25 + 17 = 0
3x – 12 = 0
x – 4 = 0
x = 4
Jadi, persamaan garis singgungnya yaitu x = 4

B. Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Misalkan titik P(x1 , y1 ) terletak di luar bulat L. Garis singgung yang sanggup ditarik melalui titik P ke bulat L ada dua. Langkah-langkah untuk memilih persamaan garis singgung tersebut adalah

1. Buat persamaan garis yang melalui P(x1 , y1 ) dengan memisalkan gradiennya m yaitu y – y1  = m(x – x1 )
2. Substitusikan y (Persamaan garis yang didapat pada langkah pertama) ke persamaan bulat sehingga diperoleh persamaan kuadrat. Kemudian tentukan nilai diskriminan (D) persamaan kuadrat tersebut
3. Karena garis menyinggung bulat L, maka nilai D = 0. Dari D = 0 akan diperoleh nilai m. Kemudian substitusikan nilai m ke persamaan garis pada langkah pertama. Sehingga akan didapat persamaan garis yang dicari

Untuk lebih memahaminya perhatikan pola soal diberikut

misal 4
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (4, 2) di luar bulat x²   + y²   = 10
Penyelesaian
Misal gradien persamaan garis singgung m, maka
y – y1  = m(x – x1 )
y – 2 = m(x – 4)
y = mx – 4m + 2

Substitusi  y = mx – 4m + 2 ke persamaan bulat x²   + y²   = 10
x²  + (mx – 4m + 2)²  = 10
x²  + m² x²  - 4m² x + 2mx - 4m² x + 16m²  - 8m + 2mx – 8m + 4 =10
x²  + m² x²  – 8m² x + 4mx + 16m²  - 16m + 4 = 10
(1 + m² )x²  – (8m²  - 4m)x + (16m²  -16m + 4) = 0

Syarat D = 0
(-(8m²  - 4m))²  – 4(1 + m² )(16m²  – 16m + 4) = 0
64m⁴  - 64m³   + 16m²  – 4(16m²  – 16m + 4 + 16m⁴  – 16m³  + 4m² ) = 0
64m⁴  - 64m³  – 64m²  + 64m + 16 - 64m⁴  + 64m³  - 16m²  = 0
-80m²  + 64m + 16 = 0
-5m²  + 4m + 1 = 0
5m²  - 4m - 1 = 0
(5m + 1)(m - 1) = 0
m = -1/5 atau m = 1

Untuk m = -1/5 diperoleh
y = -1/5x – 4(-1/5) + 2
5y = -x + 4 + 10
x + 5y = 14
Untuk m = 1 diperoleh
y = 1x – 4(1) + 2
y = x – 2
x – y = 2
Jadi, persamaan garis singgunya yaitu x + 5y = 14 dan x – y = 2

C. Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu

1. Untuk bulat dengan sentra (0, 0) dan berjari-jari r

Untuk memilih persamaan garis singgung bulat x²  + y²  = r²  dengan gradien m sanggup dilakukan dengan rumus

Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal diberikut

misal 5
Tentukan persamaan garis singgung bulat x²  + y²  = 4 dengan gradien 2
Penyelesaian
Dari soal di atas diperoleh r = 2 dan m = 2

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 

2. Untuk bulat dengan sentra A(a, b) dan berjari-jari r

Untuk memilih persamaan garis singgung bulat (x – a)²  + (y – b)²  = r²  dengan gradien m sanggup dilakukan dengan rumus

Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal diberikut

misal 6
Tentukan persamaan garis singgung bulat (x + 2)²  + (y – 5)²  = 9 dengan gradien –1
Penyelesaian
Dari soal diperoleh sentra bulat (-2, 5), r = 3 dan m = -1

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

Untuk persamaan bulat dengan bentuk umum x²  + y²  + Ax + By + C = 0, persamaan garis singgung bergradien m sanggup dicari dengan rumus yang sama yaitu

Namun, persamaan bulat bentuk x²  + y²  + Ax + By + C = 0 kita ubah terlebih lampau menjadi bentuk (x – a)²  + (y – b)²  = r²  atau kita tentukan sentra dan jari-jarinya sehingga kita sanggup menemukan persamaan garis singgungnya. Teknik memilih sentra dan jari-jari suatu bulat anda sanggup membacanya pada artikel Menentukan Persamaan Lingkaran.

Berikut yaitu pola memilih persamaan garis singgung bulat x²  + y²  + Ax + By + C = 0 bergradien m
misal 7
x²  + y²  – 10x + 2y + 17 = 0 dengan gradien 2
Penyelesaian
Dari soal di atas diperoleh
sentra bulat (5, -1)

m = 2
Sehingga, persamaan garis singgungnya

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 

Untuk mempergampang dalam memecahkan soal terkena persamaan garis singgung lingkaran, ada baiknya anda juga memahami sedikit terkena gradien dan persamaan garis lurus yang anda sanggup temukan dalam artikel Menentukan Gradien Persamaan Garis Lurus dan Menentukan Persamaan Garis Lurus

Sumber gambar :
Wahyudin dan Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2. Jakarta: Depdiknas
Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk Sekolah Menengan Atas atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Depdiknas

Tweet

Subscribe to receive free email updates: