Penggunaan Teorema Sisa Dan Teorema Faktor
Dalam mempelajari suku banyak/polinomial anda akan dihadapkan dengan dua buah teorema penting, yaitu Teorema Sisa dan Teorema Faktor. Pada bahasan kali ini, kita akan mengulas terkena penerapan Teorema Sisa dan Teorema Faktor.
memakai teorema sisa
Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pertolongannya yaitu f(k).
Dalam penerapanya kita sanggup memakai cara substitusi atau cara horner. Dalam bahasan kali ini akan dibahas dengan cara substitusi saja. Untuk lebih memahami penerapan teorema sisa 1 perhatikan pola diberikut
misal 1
Tentukanlah sisa santunan suku banyak x4 + x2 – 16 dibagi (x + 1)
Penyelesaian
f(x) = x4 + x2 -16
f(-1) = (-1)4 + (-1)2 – 16
= 1 + 1 – 16
= -14
Jadi, sisa pertolongannya yaitu -14
Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pertolongannya yaitu f(-b/a)
Untuk lebih memahami terkena penerapan teorema di atas, perhatikanlah pola soal diberikut ini.
misal 2
Tentukanlah sisa santunan suku banyak 2x3 + 7x2 – 5x + 4 dibagi (2x + 1)
Penyelesaian
f(x) = 2x3 + 7x2 – 5x + 4
f(-1/2) = 2(-1/2)3 + 7(-1/2)2 – 5(-1/2) + 4
= (-1/4) + (7/4) + (5/2) + 4
= 8
Jadi, sisa pertolongannya yaitu 8
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisanya yaitu px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q.
Untuk lebih memahami terkena penerapan teorema tersebut, perhatikanlah pola soal diberikut ini.
misal 3
Tentukanlah sisa santunan suku banyak x4 + x3 – 2x2 + x + 5 dibagi (x2 + x – 6).
Penyelesaian
Bentuk x2 + x – 6 sanggup difaktorkan menjadi
x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2)
Sehingga nilai a = -3 dan b = 2
f(a) = pa + q
(-3)4 + (-3)3 – 2(-3)2 + (-3) + 5 = p(-3) + q
81 – 27 – 18 – 3 + 5 = -3p + q
38 = -3p + q
-3p + q = 38….1)
f(b) = pb + q
(2)4 + (2)3 – 2(2)2 + 2 + 5 = p(2) + q
16 + 8 – 8 + 2 + 5 = 2p + q
23 = 2p + q
2p + q = 23 …..2)
melaluiataubersamaini memakai tehnik adonan (eliminasi substitusi) dari 1) dan 2) didapat nilai p dan nilai q
p = -3 dan q = 29
Jadi, sisa pertolongannya yaitu -3x + 29
Teknik lain yang sanggup dipakai untuk memilih nilai p dan q yaitu dengan memakai rumus
Karena sisanya 0, maka (x - 1) ialah salah satu faktornya, dan faktor yang lain yaitu hasil baginya, yaitu
melaluiataubersamaini memakai teorema faktor pula kita sanggup memilih faktor linear dari suatu suku banyak. Untuk memahaminya perhatikan pola diberikut
misal 6
Tentukanlah himpunan penyelesaian dan faktor linear dari suku banyak f(x) = x3 – x2 – 8x + 12
Penyelesaian 
Teorema Sisa
Teorema Sisa 1
Dalam memilih sisa santunan suku banyak oleh bentuk linear (x – k), kita dapatmemakai teorema sisa
Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pertolongannya yaitu f(k).
Dalam penerapanya kita sanggup memakai cara substitusi atau cara horner. Dalam bahasan kali ini akan dibahas dengan cara substitusi saja. Untuk lebih memahami penerapan teorema sisa 1 perhatikan pola diberikut
misal 1
Tentukanlah sisa santunan suku banyak x4 + x2 – 16 dibagi (x + 1)
Penyelesaian
f(x) = x4 + x2 -16
f(-1) = (-1)4 + (-1)2 – 16
= 1 + 1 – 16
= -14
Jadi, sisa pertolongannya yaitu -14
Teorema Sisa 2
Teorema sisa 2 ini, menyangkut santunan suku banyak dengan bentuk (ax + b) yaitu:Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pertolongannya yaitu f(-b/a)
Untuk lebih memahami terkena penerapan teorema di atas, perhatikanlah pola soal diberikut ini.
misal 2
Tentukanlah sisa santunan suku banyak 2x3 + 7x2 – 5x + 4 dibagi (2x + 1)
Penyelesaian
f(x) = 2x3 + 7x2 – 5x + 4
f(-1/2) = 2(-1/2)3 + 7(-1/2)2 – 5(-1/2) + 4
= (-1/4) + (7/4) + (5/2) + 4
= 8
Jadi, sisa pertolongannya yaitu 8
Teorema Sisa 3
Dalam memilih sisa santunan suku banyak oleh bentuk kuadrat, kita sanggup memakai teorema sisa diberikut ini.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisanya yaitu px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q.
Untuk lebih memahami terkena penerapan teorema tersebut, perhatikanlah pola soal diberikut ini.
misal 3
Tentukanlah sisa santunan suku banyak x4 + x3 – 2x2 + x + 5 dibagi (x2 + x – 6).
Penyelesaian
Bentuk x2 + x – 6 sanggup difaktorkan menjadi
x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2)
Sehingga nilai a = -3 dan b = 2
f(a) = pa + q
(-3)4 + (-3)3 – 2(-3)2 + (-3) + 5 = p(-3) + q
81 – 27 – 18 – 3 + 5 = -3p + q
38 = -3p + q
-3p + q = 38….1)
f(b) = pb + q
(2)4 + (2)3 – 2(2)2 + 2 + 5 = p(2) + q
16 + 8 – 8 + 2 + 5 = 2p + q
23 = 2p + q
2p + q = 23 …..2)
melaluiataubersamaini memakai tehnik adonan (eliminasi substitusi) dari 1) dan 2) didapat nilai p dan nilai q
p = -3 dan q = 29
Jadi, sisa pertolongannya yaitu -3x + 29
Teknik lain yang sanggup dipakai untuk memilih nilai p dan q yaitu dengan memakai rumus
Sebagai contoh, kita akan memakai pola 3
Sehingga hasil yang didapatkan sama yaitu -3x + 29
Teorema Faktor
Mencari penyelesaian persamaan suku banyak sama halnya dengan memilih akar-akar persamaan yang memenuhi f(x) = 0. Kita sanggup menuntaskan persamaan suku banyak dengan memilih faktor linear.
Jika f(x) suatu banyak, maka (x – k) ialah faktor dari f(x) kalau dan spesialuntuk kalau k akar persamaan f(x) = 0
Untuk lebih memahami tentang persamaan suku banyak dan penyelesaiannya, silahkan perhatikan
pola soal diberikut.
misal 4
Tentukanlah faktor-faktor dari suku banyak x3 + 4x2 + x – 6 = 0
Penyelesaian
Misalkan (x – k) ialah faktor dari f(x) = x3 + 4x2 + x – 6 = 0, maka nilai k yang mungkin yaitu faktor dari -6, yaitu ±1, ±2, ±3 dan ±6
Kemudian, dicoba nilai-nilai tersebut misalkan x = 1 (pembagi (x - 1)), dengan cara horner diperoleh
Kemudian, dicoba nilai-nilai tersebut misalkan x = 1 (pembagi (x - 1)), dengan cara horner diperoleh
Karena sisanya 0, maka (x - 1) ialah salah satu faktornya, dan faktor yang lain yaitu hasil baginya, yaitu
x3 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Jadi, faktor dari suku banyak x3 + 4x2 + x – 6 = 0 adalah
x3 + 4x2 + x – 6 = (x - 1)(x + 2)(x + 3)
Dalam kasus tertentu, terkadang kita sanggup memakai cara horner secara bertingkat dalam menentukkan faktor-faktor dari suatu suku banyak. Berikut ini yaitu pola soalnya
misal 5
Tentukanlah faktor-faktor dari suku banyak 2x4 + x3 – 14x2 – 19x – 6
Penyelesaian
Dilihat dari suku banyak, maka nilai k yang mungkin yaitu faktor dari -6, yaitu ±1, ±2, ±3 dan ±6
Kemudian, dicoba nilai-nilai tersebut misalkan x = -1 (pembagi (x + 1)), dengan cara horner
(x + 1) ialah salah satu faktornya (karena sisanya 0), namun alasannya masih menyisakan hasil bagi suku banyak berderajat 3, maka kita coba lagi untuk x = 3 (pembagi (x - 3))
Dari denah di atas menghasilkan hasil bagi yaitu
2x2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2)
Jadi, faktor dari suku banyak 2x4 + x3 – 14x2 – 19x – 6 adalah
2x4 + x3 – 14x2 – 19x – 6 = (x + 1)(x - 3)(2x + 1)(x + 2)
melaluiataubersamaini memakai teorema faktor pula kita sanggup memilih faktor linear dari suatu suku banyak. Untuk memahaminya perhatikan pola diberikut
misal 6
Tentukanlah himpunan penyelesaian dan faktor linear dari suku banyak f(x) = x3 – x2 – 8x + 12
Penyelesaian
Dicoba untuk x = 2 (pemagi (x - 2))
Diperoleh hasil bagi
2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)
Sehingga faktor-faktornya
x3 – x2 – 8x + 12 = 0
(x - 2)(2x – 3)(x + 2) = 0
Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu {-2, 3/2, 2}
Berikut ini ialah beberapa sifat dan bentuk istimewa dari beberapa suku banyak, yang mungkin nantinya mempunyai kegunaan dalam memecahkan soal-soal berkaitan dengan suku banyak
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:
1)x1 + x2 = -b/a
2)x1 ∙ x2 = c/a
Untuk Suku Banyak Berderajat Tiga: ax3 + bx2 + cx + d = 0
Jika x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan ax3 + bx2 + cx + d = 0, maka:
1)x1 + x2 + x3 = -b/a
2)x1 ∙ x2 + x2 ∙ x3 + x1 ∙ x3 = c/a
3)x1 ∙ x2 ∙ x3 = -d/a
Untuk Suku Banyak Berderajat Empat: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Jika x1, x2 , x3 , dan x4 adalah akar-akar persamaan suku banyak ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, maka:
1)x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
2)x1 ∙ x2 ∙ x3 + x2 ∙ x3 ∙ x4 + x3 ∙ x4 ∙ x1 + x4 ∙ x1 ∙ x2 = c/a
3)x1 ∙ x2 + x1 ∙ x3 + x1 ∙ x4 + x2 ∙ x3 + x2 ∙ x4 + x3 ∙ x4 = -d/a
4)x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4 = c/a
Untuk tiap x dan a bilangan real dan n bilangan asli, maka bentuk-bentuk:
(xn – an) habis dibagi dengan (x – a)
(x2n – a2n) habis dibagi dengan (x + a)
(x2n+1 + a2n+1) habis dibagi (x + a)
2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)
Sehingga faktor-faktornya
x3 – x2 – 8x + 12 = 0
(x - 2)(2x – 3)(x + 2) = 0
Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu {-2, 3/2, 2}
Berikut ini ialah beberapa sifat dan bentuk istimewa dari beberapa suku banyak, yang mungkin nantinya mempunyai kegunaan dalam memecahkan soal-soal berkaitan dengan suku banyak
Sifat-Sifat Akar Beberapa Bentuk Suku Banyak
Untuk Suku Banyak Berderajat Dua: ax2 + bx + c = 0Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:
1)x1 + x2 = -b/a
2)x1 ∙ x2 = c/a
Untuk Suku Banyak Berderajat Tiga: ax3 + bx2 + cx + d = 0
Jika x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan ax3 + bx2 + cx + d = 0, maka:
1)x1 + x2 + x3 = -b/a
2)x1 ∙ x2 + x2 ∙ x3 + x1 ∙ x3 = c/a
3)x1 ∙ x2 ∙ x3 = -d/a
Untuk Suku Banyak Berderajat Empat: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Jika x1, x2 , x3 , dan x4 adalah akar-akar persamaan suku banyak ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, maka:
1)x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
2)x1 ∙ x2 ∙ x3 + x2 ∙ x3 ∙ x4 + x3 ∙ x4 ∙ x1 + x4 ∙ x1 ∙ x2 = c/a
3)x1 ∙ x2 + x1 ∙ x3 + x1 ∙ x4 + x2 ∙ x3 + x2 ∙ x4 + x3 ∙ x4 = -d/a
4)x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4 = c/a
Bentuk Pembagian Istimewa
Berikut ini yaitu santunan yang dikenal sebagai santunan istimewa.Untuk tiap x dan a bilangan real dan n bilangan asli, maka bentuk-bentuk:
(xn – an) habis dibagi dengan (x – a)
(x2n – a2n) habis dibagi dengan (x + a)
(x2n+1 + a2n+1) habis dibagi (x + a)
Hasil bagi pada setiap bentuk santunan di atas sanggup ditentukan dengan memakai rumus
0 Response to "Penggunaan Teorema Sisa Dan Teorema Faktor"
Posting Komentar