Menghitung Volume Benda Putar Dengan Integral
Aplikasi integral yang pada umumnya dipelajari ialah terkena menghitung luas tempat yang dibatasi kurva serta menghitung volume benda putar. Pada artikel ini akan dibahas salah satunya yaitu terkena aplikasi integral untuk menghitung volume benda putar yang disertai pola soal volume benda putar dan pembahasannya. Namun sebelum mengulasnya, ada bahan prasyarat yang harus dipahami terlebih lampau yaitu integral tentu. Karena, penyelesaian dari volume benda putar ini hampir sama dengan pembahasan integral tentu.
Misalkan suatu tempat pada bidang datar diputar satu putaran penuh (360$^o$) mengelilingi garis tertentu, maka terbentuklah benda pejal yang disebut dengan benda putar. Sedangkan, garis tertentu tersebut disebut dengan sumbu putar atau sumbu rotasi. Untuk memilih volume benda putar tersebut kita sanggup memakai konsep integral.
Misalkan R ialah tempat yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x), sumbu x, dan garis-garis x = a dan x = b. Jika tempat itu diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu x, maka akan diperoleh sebuah benda putar yang volumenya sanggup ditentukan dengan rumus integral
V = 𝜋$\int_{a}^{b}y^2 dx$
Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal volume benda putar diberikut
misal 1
Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 3, sumbu x, x = 0, dan x = 3 diputar 360$^o$ mengelilingi sumbu x. Besar volume benda putar yang terjadi ialah ...
Penyelesaian
V = 𝜋$\int_{0}^{3}(x + 3)^2 dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{3}(x^2 + 6x + 3) dx$
V = 𝜋$[(\frac{1}{3}x^3+ 3x^2 + 3x)]_{0}^{3}$
V = 𝜋$[(\frac{1}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 3(2))$-$(\frac{1}{3}(0)^3 + 3(0)^2 + 3(0))]$
V = 𝜋$[(\frac{8}{3} + 12 + 6) - 0]$
V = 𝜋$[\frac{8}{3} + 18]$
V = $\frac{62}{3}$𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut ialah $\frac{62}{3}$𝜋 satuan volume
Untuk memilih volume benda putar yang mengelilingi sumbu y, caranya hampir sama dengan sumbu x. Mungkin perbedaanya terletak pada fungsi dan batas-batasnya saja. Jika, mengelilingi sumbuk fungsingya ialah y = f(x) maka jikalau mengelilingi sumbu y menjadi x = g(y). Batas-batasnya juga demikian jikalau pada sumbu x batas-batasnya x = a dan x = b, pada sumbu y batas-batasnya ialah y = c dan y = d. Untuk lebih jelasnya perhatikan klarifikasi diberikut.
Misalkan R ialah tempat yang dibatasi oleh grafik fungsi x = g(y), sumbu y, dan garis-garis y = c dan y = d diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu y. Maka, akan diperoleh sebuah benda putar yang volumenya sanggup ditentukan dengan rumus integral
V = 𝜋$\int_{c}^{d}x^2 dy$
Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal volume benda putar yang mengelilingi sumbu y diberikut
misal 2
Hitunglah volume benda putar dari tempat yang dibatasi ole garis y = $\frac{1}{3}x$, sumbu y, y = 1 dan y = 2, diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu y!
Penyelesaian
Pertama kita ubah dulu persamaan y = $\frac{1}{3}x$ menjadi
x = 3y
V = 𝜋$\int_{1}^{2}(3y)^2 dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{2}9y^2 dy$
V = 𝜋$[\frac{9}{3}y^3] _{1}^{2}$
V = 𝜋$[3y^3] _{1}^{2}$
V = 𝜋$[3(2)^3-3(1)^3]$
V = 𝜋$[24-3]$
V = 21𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut ialah 21𝜋 satuan volume
Mengelilingi Sumbu x
Misalkan tempat yang dibatasi oleh kurva y$_1$ = f(x) dan y$_2$ = g(x) (|f(x)| ≥ |g(x)|), garis-garis x = a dan x = b diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu x, maka besar volume benda putar yang terjadi sanggup ditentukan dengan rumus integral
V = 𝜋$\int_{a}^{b}(y_1^2 - y_2^2) dx$
Berikut ialah pola penerapanya
misal 3
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jikalau tempat yang dibatasi garis y = x + 1, y = x, x = 2, dan x = 0 menglilingi sumbu x sejauh 360$^o$!
Penyelesaian
V = 𝜋$\int_{0}^{2}((x + 1)^2 - x^2) dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{2}(x^2 + 2x + 1 - x^2) dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{2}(2x + 1) dx$
V = 𝜋$[(x^2 + x)]_{0}^{2}$
V = 𝜋$(2^2 + 2) - (0^2 + 0)$
V = 𝜋(6 - 0)
V = 6𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut ialah 6𝜋 satuan volume
Mengelilingi Sumbu y
Misalkan tempat yang dibatasi oleh kurva x$_1$ = f(y) dan x$_2$ = g(y) (|f(y)| ≥ |g(y)|), garis-garis y = a dan y = b diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu y, maka besar volume benda putar yang terjadi sanggup ditentukan dengan rumus integral
V = 𝜋$\int_{a}^{b}(x_1^2 - x_2^2) dy$
Berikut ialah pola penerapan rumus volume benda putar yang dibatasi dua kurva dan mengelilingi sumbu y
misal 4
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jikalau tempat yang dibatasi garis y - x = 1, y = x, y = 1, dan y = 4 menglilingi sumbu y sejauh 360$^o$!
Penyelesaian
y - x = 1 ⟶ x = y - 1
V = 𝜋$\int_{1}^{4}((y - 1)^2 - y^2) dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{4}(y^2 - 2y + 1 - y^2) dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{4}( - 2y + 1) dy$
V = 𝜋$[(-y^2 + y)]_{1}^{4}$
V = 𝜋$[( -(4)^2 + 4) - ( -(1)^2 + 1)]$
V = 𝜋[-12 - 0]
V= -12𝜋
V = 12𝜋 (volume selalu bernilai positif)
Jadi, volume benda putar tersebut ialah 12𝜋 satuan volume
Ada kalanya batas bawah dan batas atas dari volume tidak diketahui, hal ini berarti yang dipakai sebagai batas atas dan batas bawah ialah titik potong kedua kurva atau dengan sumbu yang dilalui oleh kurva. Untuk jelasnya perhatikan pola soal volume benda putar dan pembahasannya diberikut ini.
misal 5
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jikalau tempat yang dibatasi oleh kurva parabola y = x$^2$ + 1 dan garis y = x + 3, diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu x!
Penyelesaian
Batas atas dan batas bawah dari integralnya ialah perpotongan dari kedua kurva yaitu
x$^2$ + 1 = x + 3
x$^2$ + 1 - x - 3 = 0
x$^2$ - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x = -1 atau x = 2
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}((x + 3)^2$ $- (x^2 + 1)^2) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}((x^2 + 6x + 9)$ $- (x^4 + 2x^2 + 1)) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}(x^2 + 6x + 9$ $- x^4 - 2x^2 - 1)) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}(- x^4 - x^2 + 6x + 8) dx$
V = 𝜋$[(\frac{-1}{5} x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 8x)] _{-1}^{2}$
V = 𝜋$[(\frac{-1}{5} (2)^5 - \frac{1}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 8(2))$ $-(\frac{-1}{5} (-1)^5 - \frac{1}{3}(-1)^3 + 3(-1)^2 + 8(-1)] $
V = 𝜋$[(\frac{-32}{5}- \frac{8}{3} + 12 + 16)$ $-(\frac{1}{5} - \frac{-1}{3} + 3 - 8)] $
V = 𝜋$[(\frac{-32}{5}- \frac{8}{3} + 28)$ $-(\frac{1}{5} - \frac{-1}{3} - 5)] $
V = 𝜋$[(\frac{-96}{15}- \frac{40}{15} + \frac{420}{15})$ $-(\frac{3}{15} + \frac{5}{15} - \frac{75}{15})] $
V = 𝜋$[\frac{284}{15}+ \frac{67}{15})] $
V = 𝜋$\frac{351}{15} $
V = $\frac{117}{5} $𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut ialah $\frac{117}{5} $𝜋 satuan volume
melaluiataubersamaini konsep volume benda putar ini pula kita sanggup menemukan aplikasi integral lainnya yaitu dalam memilih atau mengambarkan rumus volume kerucut dan bola. Nah demikianlah terkena menghitung volume benda puatr dengan integral biar sanggup dipahami dan bermanfaa.
Misalkan suatu tempat pada bidang datar diputar satu putaran penuh (360$^o$) mengelilingi garis tertentu, maka terbentuklah benda pejal yang disebut dengan benda putar. Sedangkan, garis tertentu tersebut disebut dengan sumbu putar atau sumbu rotasi. Untuk memilih volume benda putar tersebut kita sanggup memakai konsep integral.
Volume Benda Putar yang Mengelilingi Sumbu x
V = 𝜋$\int_{a}^{b}y^2 dx$
Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal volume benda putar diberikut
misal 1
Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 3, sumbu x, x = 0, dan x = 3 diputar 360$^o$ mengelilingi sumbu x. Besar volume benda putar yang terjadi ialah ...
Penyelesaian
V = 𝜋$\int_{0}^{3}(x + 3)^2 dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{3}(x^2 + 6x + 3) dx$
V = 𝜋$[(\frac{1}{3}x^3+ 3x^2 + 3x)]_{0}^{3}$
V = 𝜋$[(\frac{1}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 3(2))$-$(\frac{1}{3}(0)^3 + 3(0)^2 + 3(0))]$
V = 𝜋$[(\frac{8}{3} + 12 + 6) - 0]$
V = 𝜋$[\frac{8}{3} + 18]$
V = $\frac{62}{3}$𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut ialah $\frac{62}{3}$𝜋 satuan volume
Volume Benda Putar yang Mengelilingi Sumbu y
Misalkan R ialah tempat yang dibatasi oleh grafik fungsi x = g(y), sumbu y, dan garis-garis y = c dan y = d diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu y. Maka, akan diperoleh sebuah benda putar yang volumenya sanggup ditentukan dengan rumus integral
V = 𝜋$\int_{c}^{d}x^2 dy$
Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal volume benda putar yang mengelilingi sumbu y diberikut
misal 2
Hitunglah volume benda putar dari tempat yang dibatasi ole garis y = $\frac{1}{3}x$, sumbu y, y = 1 dan y = 2, diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu y!
Penyelesaian
Pertama kita ubah dulu persamaan y = $\frac{1}{3}x$ menjadi
x = 3y
V = 𝜋$\int_{1}^{2}(3y)^2 dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{2}9y^2 dy$
V = 𝜋$[\frac{9}{3}y^3] _{1}^{2}$
V = 𝜋$[3y^3] _{1}^{2}$
V = 𝜋$[3(2)^3-3(1)^3]$
V = 𝜋$[24-3]$
V = 21𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut ialah 21𝜋 satuan volume
Volume Benda Putar Suatu Daerah antara Dua Kurva
Untuk volume benda putar dari suatu tempat yang dibatasi dua kurva dibagi menjadi dua pula yaitu yang mengelilingi sumbu x dan mengelilingi sumbu y.Mengelilingi Sumbu x
V = 𝜋$\int_{a}^{b}(y_1^2 - y_2^2) dx$
Berikut ialah pola penerapanya
misal 3
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jikalau tempat yang dibatasi garis y = x + 1, y = x, x = 2, dan x = 0 menglilingi sumbu x sejauh 360$^o$!
Penyelesaian
V = 𝜋$\int_{0}^{2}((x + 1)^2 - x^2) dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{2}(x^2 + 2x + 1 - x^2) dx$
V = 𝜋$\int_{0}^{2}(2x + 1) dx$
V = 𝜋$[(x^2 + x)]_{0}^{2}$
V = 𝜋$(2^2 + 2) - (0^2 + 0)$
V = 𝜋(6 - 0)
V = 6𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut ialah 6𝜋 satuan volume
Mengelilingi Sumbu y
V = 𝜋$\int_{a}^{b}(x_1^2 - x_2^2) dy$
Berikut ialah pola penerapan rumus volume benda putar yang dibatasi dua kurva dan mengelilingi sumbu y
misal 4
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jikalau tempat yang dibatasi garis y - x = 1, y = x, y = 1, dan y = 4 menglilingi sumbu y sejauh 360$^o$!
Penyelesaian
y - x = 1 ⟶ x = y - 1
V = 𝜋$\int_{1}^{4}((y - 1)^2 - y^2) dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{4}(y^2 - 2y + 1 - y^2) dy$
V = 𝜋$\int_{1}^{4}( - 2y + 1) dy$
V = 𝜋$[(-y^2 + y)]_{1}^{4}$
V = 𝜋$[( -(4)^2 + 4) - ( -(1)^2 + 1)]$
V = 𝜋[-12 - 0]
V= -12𝜋
V = 12𝜋 (volume selalu bernilai positif)
Jadi, volume benda putar tersebut ialah 12𝜋 satuan volume
Ada kalanya batas bawah dan batas atas dari volume tidak diketahui, hal ini berarti yang dipakai sebagai batas atas dan batas bawah ialah titik potong kedua kurva atau dengan sumbu yang dilalui oleh kurva. Untuk jelasnya perhatikan pola soal volume benda putar dan pembahasannya diberikut ini.
misal 5
Tentukan volume benda putar yang diperoleh jikalau tempat yang dibatasi oleh kurva parabola y = x$^2$ + 1 dan garis y = x + 3, diputar sejauh 360$^o$ mengelilingi sumbu x!
Penyelesaian
Batas atas dan batas bawah dari integralnya ialah perpotongan dari kedua kurva yaitu
x$^2$ + 1 = x + 3
x$^2$ + 1 - x - 3 = 0
x$^2$ - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x = -1 atau x = 2
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}((x + 3)^2$ $- (x^2 + 1)^2) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}((x^2 + 6x + 9)$ $- (x^4 + 2x^2 + 1)) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}(x^2 + 6x + 9$ $- x^4 - 2x^2 - 1)) dx$
V = 𝜋$\int_{-1}^{2}(- x^4 - x^2 + 6x + 8) dx$
V = 𝜋$[(\frac{-1}{5} x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 8x)] _{-1}^{2}$
V = 𝜋$[(\frac{-1}{5} (2)^5 - \frac{1}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 8(2))$ $-(\frac{-1}{5} (-1)^5 - \frac{1}{3}(-1)^3 + 3(-1)^2 + 8(-1)] $
V = 𝜋$[(\frac{-32}{5}- \frac{8}{3} + 12 + 16)$ $-(\frac{1}{5} - \frac{-1}{3} + 3 - 8)] $
V = 𝜋$[(\frac{-32}{5}- \frac{8}{3} + 28)$ $-(\frac{1}{5} - \frac{-1}{3} - 5)] $
V = 𝜋$[(\frac{-96}{15}- \frac{40}{15} + \frac{420}{15})$ $-(\frac{3}{15} + \frac{5}{15} - \frac{75}{15})] $
V = 𝜋$[\frac{284}{15}+ \frac{67}{15})] $
V = 𝜋$\frac{351}{15} $
V = $\frac{117}{5} $𝜋
Jadi, volume benda putar tersebut ialah $\frac{117}{5} $𝜋 satuan volume
melaluiataubersamaini konsep volume benda putar ini pula kita sanggup menemukan aplikasi integral lainnya yaitu dalam memilih atau mengambarkan rumus volume kerucut dan bola. Nah demikianlah terkena menghitung volume benda puatr dengan integral biar sanggup dipahami dan bermanfaa.
0 Response to "Menghitung Volume Benda Putar Dengan Integral"
Posting Komentar