Aplikasi Integral Tentu Untuk Menghitung Luas Daerah
Jika anda sudah memahami konsep dasar integral yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Anda akan mungkin lebih praktis dalam mempelajari aplikasi dari integral. Aplikasi integral yang biasanya dipelajari ialah penerapan integral dalam menghitung luas kawasan yang dibatasi oleh kurva dan penerapan integral untuk memilih volume benda putar.
Pada bahasan kali ini kita akan mengulas terkena aplikasi integral untuk menghitung luas daerah. Luas kawasan yang dimaksud dalam hal ini ialah luas kawasan yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu x dan luas kawasan yang dibatasi oleh dua kurva
Misalkan kurva y = f(x), dengan f ialah fungsi kontinu dan non negatif (f(x) ≥ 0) dalam interval a ≤ x ≤ b. Misalkan R ialah kawasan yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, dan garis-garis x = a dan x = b. Luas kawasan R sanggup ditentukan dengan
$L = \int_{a}^{b} y dx$
Untuk lebih jelasnya diberikut ialah teladan soal integral luas derah beserta pembahasannya
misal 1
Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh y = 3x$^2$ + 6x, sumbu x, dan garis-garis x = 0 dan y = 0!
Penyelesaian
L = $\int_{a}^{b} y dx$
L = $\int_{0}^{2} (3x^2 + 6x) dx$
L = $\int_{0}^{2} (x^3 + 3x) dx$
L = $[x^3 + 3x]\int_{0}^{2}$
L = $(2^3 + 3(2))-(0^3 + 3(0))$
L = (8 + 6) - 0
L = 14 satuan luas
Penjelasan di atas ialah integal luas kawasan kurva yang berada di atas sumbu x, bagaimana apabila ternyata luas kawasan yang di cari berada di bawah sumbu-x? Perhatikan gambar diberikut
Jika dihitung biasanya kita akan menemukan nilai luas negatif. Karena luas harus bernilai positif, maka rumus integral yang sempurna untuk menghitung luas kawasan tersebut adalah
$L = -\int_{a}^{b} y dx$
Berikut ini teladan integral luas kawasan di bawah sumbu x beserta pembahasanya
misal 2
Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y = x$^2$ - 2x dan sumbu x!
Penyelesaian
Jika digambar maka luas kawasan yang dimaksud ialah kawasan yang berada di bawah kurva. Bagaimana dengan batas-batasnya? dalam hal ini batas atas dan batas bawah integral memakai titik potong sumbu x kurva tersebut.
0 = x$^2$ - 2x
(x - 2)x = 0
x - 2 = 0 atau x = 0
x = 2
L = $-\int_{a}^{b} y dx$
L = $-\int_{0}^{2}(x^2 - 2x) dx$
L = $-[\frac{1}{3}x^3 - x^2] \int_{0}^{2}$
L = $-((\frac{1}{3}(2)^3 - 2^2) - (\frac{1}{3}(0)^3 - 0^2))$
L = $-((\frac{8}{3} - 4) - (0))$
L = $-(\frac{8}{3} - \frac{12}{3})$
L = $-(- \frac{4}{3})$
L = $\frac{4}{3}$ satuan luas
Pada perkara lain, luas kawasan yang dicari berada di atas dan di bawah sumbu x. Perhatikan gambar diberikut!
Untuk memilih luas kawasan tersebut kita sanggup memakai rumus integral
$L = \int_{a}^{b} y dx$ $-\int_{b}^{c} y dx$
Perhatikan teladan soal diberikut
misal 3
Tentukan luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y = x$^3$ - x dan sumbu x!
Penyelesaian
L = $\int_{a}^{b} y dx$ $-\int_{b}^{c} y dx$
L = $ [2x - \frac{1}{3}x^3- \frac{1}{2}x^2] \int_{-2}^{1}$
L = $ (2(1) - \frac{1}{3}(1)^3-\frac{1}{2}(1)^2)-(2(-2) - \frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{1}{2}(-2)^2)$
L = $ (2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2})-(-4 + \frac{8}{3} - 2)$
L = $ ((\frac{7}{6})-(- \frac{20}{6})$
L = $ \frac{27}{6}$
Penyelesaian
Luas kawasan yang dicari ialah luas kawasan yang dibatasi oleh parabola dan sebuah garis, jadi kita sanggup memakai cara cepat
2 - x$^2$ = -x
x$^2$ - x - 2 = 0
D = b$^2$ - 4ac = (-1)$^2$ - 4(1)(-2) = 9
L = $\frac{Dsqrt{D}}{6a^2}$
L = $\frac{9sqrt{9}}{6(1)^2}$
L = $\frac{9}{2}$ satuan luas
misal 7
Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh y = x$^2$ - 4 dan y = 8 - 2x$^2$!
Penyelesaian
Luas kawasan yang dicari ialah luas kawasan yang dibatasi oleh dua parabola, jadi kita sanggup memakai cara cepat
x$^2$ - 4 = 8 - 2x$^2$
3x$^2$ - 12 = 0
D = = b$^2$ - 4ac = (0)$^2$ - 4(3)(-12) = 144
L = $\frac{Dsqrt{D}}{6a^2}$
L = $\frac{144sqrt{144}}{6(3)^2}$
L = $32$ satuan luas
Selain itu, pengembangan dari rumus cepat sebelumnya menghasilkan cara cepat memilih luas kawasan tanpa integral yang baru, yaitu
$L = \frac{a}{6}| x_1 - x_2 |^3$
x_1 dan x_2 ialah titik potong kedua kurva. Karena rumus di atas ialah pengembangan dari rumus pertama maka syarat rumus ini dapt dipakai juga sama yaitu luas yang dicari ialah luas yang dibatasi oleh dua parabola atau luas yang dibatasi oleh parabola dan sebuah garis. Untuk lebih jelasnya perhatikan teladan diberikut
misal 8
Tentukan luas kawasan yang dibatasi oleh parabola y = 9 - x$^2$ dan y = x + 3!
Penyelesaian
9 - x$^2$ = x + 3
x$^2$ + x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
x$_1$ = -3 atau x$_2$ = 2
L = $\frac{a}{6}| x_1 - x_2 |^3$
L = $\frac{1}{6}| -3 - 2 |^3$
L = $\frac{1}{6}| -5 |^3$
L = $\frac{125}{6}$ satuan luas
Untuk megampangkan memilih luas kawasan dengan integral ada baiknya jikalau kawasan tersebut digambar terlebih lampau. Demikianlah tadi terkena aplikasi integral tentu untuk menghitung luas kawasan yang sudah dilengkapi pembahasanya. Semoga bermanfaa.
Pada bahasan kali ini kita akan mengulas terkena aplikasi integral untuk menghitung luas daerah. Luas kawasan yang dimaksud dalam hal ini ialah luas kawasan yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu x dan luas kawasan yang dibatasi oleh dua kurva
Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva dan Sumbu x
$L = \int_{a}^{b} y dx$
Untuk lebih jelasnya diberikut ialah teladan soal integral luas derah beserta pembahasannya
misal 1
Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh y = 3x$^2$ + 6x, sumbu x, dan garis-garis x = 0 dan y = 0!
Penyelesaian
L = $\int_{a}^{b} y dx$
L = $\int_{0}^{2} (3x^2 + 6x) dx$
L = $\int_{0}^{2} (x^3 + 3x) dx$
L = $[x^3 + 3x]\int_{0}^{2}$
L = $(2^3 + 3(2))-(0^3 + 3(0))$
L = (8 + 6) - 0
L = 14 satuan luas
Penjelasan di atas ialah integal luas kawasan kurva yang berada di atas sumbu x, bagaimana apabila ternyata luas kawasan yang di cari berada di bawah sumbu-x? Perhatikan gambar diberikut
$L = -\int_{a}^{b} y dx$
Berikut ini teladan integral luas kawasan di bawah sumbu x beserta pembahasanya
misal 2
Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y = x$^2$ - 2x dan sumbu x!
Penyelesaian
Jika digambar maka luas kawasan yang dimaksud ialah kawasan yang berada di bawah kurva. Bagaimana dengan batas-batasnya? dalam hal ini batas atas dan batas bawah integral memakai titik potong sumbu x kurva tersebut.
0 = x$^2$ - 2x
(x - 2)x = 0
x - 2 = 0 atau x = 0
x = 2
L = $-\int_{a}^{b} y dx$
L = $-\int_{0}^{2}(x^2 - 2x) dx$
L = $-[\frac{1}{3}x^3 - x^2] \int_{0}^{2}$
L = $-((\frac{1}{3}(2)^3 - 2^2) - (\frac{1}{3}(0)^3 - 0^2))$
L = $-((\frac{8}{3} - 4) - (0))$
L = $-(\frac{8}{3} - \frac{12}{3})$
L = $-(- \frac{4}{3})$
L = $\frac{4}{3}$ satuan luas
Pada perkara lain, luas kawasan yang dicari berada di atas dan di bawah sumbu x. Perhatikan gambar diberikut!
$L = \int_{a}^{b} y dx$ $-\int_{b}^{c} y dx$
Perhatikan teladan soal diberikut
misal 3
Tentukan luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y = x$^3$ - x dan sumbu x!
Penyelesaian
Titik potong kurva dengan sumbu x adalah
0 = x$^3$ - x
x(x + 1)(x - 1) = 0
x = -1 atau x = 0 atau x = 1
Jika digambar maka kurvanya akan terlihat menyerupai diberikut
L = $\int_{-1}^{0} (x $^3$ - x) dx$ $-\int_{0}^{1} (x $^3$ - x) dx$
L = $ [\frac{1}{4}x $^4$ - \frac{1}{2}x^2] \int_{-1}^{0}$ $- [\frac{1}{4}x $^4$ - \frac{1}{2}x^2] \int_{0}^{1}$
L = $ ((\frac{1}{4}(0) $^4$ - \frac{1}{2}(0)^2)-(\frac{1}{4}(-1) $^4$ - \frac{1}{2}(-1)^2))$ $- ((\frac{1}{4}(1) $^4$ - \frac{1}{2}(1)^2)-(\frac{1}{4}(0) $^4$ - \frac{1}{2}(0)^2))$
L = $ (0 -(-\frac{1}{4}))$ $- ((- \frac{1}{4}) - 0)$
L = $ \frac{1}{4}$ $+ \frac{1}{4}$
L = $ \frac{1}{2}$ satuan luas
Misalkan dua kurva masing-masing y = f(x) dan y = g(x), ialah kurva-kurva yang kontinu dan f(x) ≥ g(x) dalam interval a ≤ x ≤ b. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), dan y = g(x), garis x = a, dan garis x = b luasnya sanggup ditentukan oleh rumus integral
$L = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$
Berikut ialah teladan soal beserta pembahasannya
misal 4
Tentkan luas kawasan yang dibatasi oleh kurva parabola y = 2 - x$^2$ dan garis y = x!
Penyelesaian
Terlebih lampau kita mencari batas-batas integralnya, yaitu
2 - x$^2$ = x
x$^2$ + x - 2 = 0
(x + 2)(x - 1) = 0
x = -2 zatau x = 1
L = $\int_{-2}^{1} [(2 - x^2) - x] dx$L = $ [\frac{1}{4}x $^4$ - \frac{1}{2}x^2] \int_{-1}^{0}$ $- [\frac{1}{4}x $^4$ - \frac{1}{2}x^2] \int_{0}^{1}$
L = $ ((\frac{1}{4}(0) $^4$ - \frac{1}{2}(0)^2)-(\frac{1}{4}(-1) $^4$ - \frac{1}{2}(-1)^2))$ $- ((\frac{1}{4}(1) $^4$ - \frac{1}{2}(1)^2)-(\frac{1}{4}(0) $^4$ - \frac{1}{2}(0)^2))$
L = $ (0 -(-\frac{1}{4}))$ $- ((- \frac{1}{4}) - 0)$
L = $ \frac{1}{4}$ $+ \frac{1}{4}$
L = $ \frac{1}{2}$ satuan luas
Luas Daerah yang Dibatasi Dua Kurva
$L = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$
Berikut ialah teladan soal beserta pembahasannya
misal 4
Tentkan luas kawasan yang dibatasi oleh kurva parabola y = 2 - x$^2$ dan garis y = x!
Penyelesaian
Terlebih lampau kita mencari batas-batas integralnya, yaitu
2 - x$^2$ = x
x$^2$ + x - 2 = 0
(x + 2)(x - 1) = 0
x = -2 zatau x = 1
L = $ [2x - \frac{1}{3}x^3- \frac{1}{2}x^2] \int_{-2}^{1}$
L = $ (2(1) - \frac{1}{3}(1)^3-\frac{1}{2}(1)^2)-(2(-2) - \frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{1}{2}(-2)^2)$
L = $ (2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2})-(-4 + \frac{8}{3} - 2)$
L = $ ((\frac{7}{6})-(- \frac{20}{6})$
L = $ \frac{27}{6}$
L = $ \frac{9}{2}$ satuan luas
misal 5
Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y = 6x - x$^2$ dan y = x$^2$!
Penyelesaian
6x - x$^2$ = x$^2$
2x$^2$ - 6x = 0
x(2x - 6) = 0
x = 0 atau x = 3
L = $\int_{0}^{3} [6x - x^2 - x^2] dx$
L = $\int_{0}^{3} [6x - 2x^2] dx$
L = $ [3x^2 - \frac{2}{3}x^3] \int_{0}^{3}$
L = $ ((3(3)^2 - \frac{2}{3}(3)^3) - ((3(0)^2 - \frac{2}{3}(0)^3)$
L = $ ((27 - 18) - (0 - 0)$
L = 9 satuan luas
Teknik Cepat Menentukan Luas Daerah yang Dibatasi Dua Kurva
Sebenarnya ada cara cepat yang sanggup dipakai untuk memilih luas kawasan yang dibatasi dua kurva tanpa memakai integral. Namun, ada kondisi khusus atau syarat yang harus dipenuhi yaitu luas yang dicari ialah luas yang dibatasi oleh dua parabola atau luas yang dibatasi oleh parabola dan sebuah garis. Untuk memilih luasnya, kita sanggup memakai rumus
$L = \frac{Dsqrt{D}}{6a^2}
D sendiri ialah diskriminan dan D = b$^2$ - 4ac. Diskriminan diperoleh dengan cara mensubstitusi salah satu kurva ke kurva yang lain sehingga diperoleh persamaan ax$^2$ + bx + c = 0. Untuk lebih jelasnya perhatikan teladan soal memilih luas kawasan tanpa integral beserta pembahasannya
misal 6
Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh y = 2 - x$^2$ dan y = -x!Penyelesaian
Luas kawasan yang dicari ialah luas kawasan yang dibatasi oleh parabola dan sebuah garis, jadi kita sanggup memakai cara cepat
2 - x$^2$ = -x
x$^2$ - x - 2 = 0
D = b$^2$ - 4ac = (-1)$^2$ - 4(1)(-2) = 9
L = $\frac{Dsqrt{D}}{6a^2}$
L = $\frac{9sqrt{9}}{6(1)^2}$
L = $\frac{9}{2}$ satuan luas
misal 7
Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh y = x$^2$ - 4 dan y = 8 - 2x$^2$!
Penyelesaian
Luas kawasan yang dicari ialah luas kawasan yang dibatasi oleh dua parabola, jadi kita sanggup memakai cara cepat
x$^2$ - 4 = 8 - 2x$^2$
3x$^2$ - 12 = 0
D = = b$^2$ - 4ac = (0)$^2$ - 4(3)(-12) = 144
L = $\frac{Dsqrt{D}}{6a^2}$
L = $\frac{144sqrt{144}}{6(3)^2}$
L = $32$ satuan luas
Selain itu, pengembangan dari rumus cepat sebelumnya menghasilkan cara cepat memilih luas kawasan tanpa integral yang baru, yaitu
$L = \frac{a}{6}| x_1 - x_2 |^3$
x_1 dan x_2 ialah titik potong kedua kurva. Karena rumus di atas ialah pengembangan dari rumus pertama maka syarat rumus ini dapt dipakai juga sama yaitu luas yang dicari ialah luas yang dibatasi oleh dua parabola atau luas yang dibatasi oleh parabola dan sebuah garis. Untuk lebih jelasnya perhatikan teladan diberikut
misal 8
Tentukan luas kawasan yang dibatasi oleh parabola y = 9 - x$^2$ dan y = x + 3!
Penyelesaian
9 - x$^2$ = x + 3
x$^2$ + x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
x$_1$ = -3 atau x$_2$ = 2
L = $\frac{a}{6}| x_1 - x_2 |^3$
L = $\frac{1}{6}| -3 - 2 |^3$
L = $\frac{1}{6}| -5 |^3$
L = $\frac{125}{6}$ satuan luas
Untuk megampangkan memilih luas kawasan dengan integral ada baiknya jikalau kawasan tersebut digambar terlebih lampau. Demikianlah tadi terkena aplikasi integral tentu untuk menghitung luas kawasan yang sudah dilengkapi pembahasanya. Semoga bermanfaa.
0 Response to "Aplikasi Integral Tentu Untuk Menghitung Luas Daerah"
Posting Komentar