Pengertian, Sifat-Sifat, Dan Pola Soal Fungsi Komposisi

Fungsi ialah hubungan khusus yang memasangkan suatu himpunan sempurna satu dengan anggota himpunan yang lain. Misalkan terdapat himpunan A dan himpunan B, hubungan A ke B disebut fungsi apabila anggota A mempunyai pasangan sempurna satu di B. Ini berarti A spesialuntuk boleh mempunyai satu pasangan di B, tetapi hukum tersebut tidak berlaku di B (B boleh mempunyai pasangan lebih dari satu di A). Jika diterjemahkan dalam bahasa gaul A dihentikan jomblo, namun B boleh selingkuh. Selanjutnya dalam fungsi dikenal istilah fungsi komposisi.

Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi Komposisi ialah penggabungan operasi dari dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi yang baru. Operasi fungsi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" dan dibaca komposisi/bundaran. Untuk memahami fungsi komposisi, simaklah klarifikasi diberikut.

Misalkan diketahui A = {a₁, a₂, a₃}, B = {b₁, b₂, b₃, b₄}, dan C = {c₁, c₂, c₃}, maka fungsi f : A → B dan g : B → C sanggup didefinisikan dalam diagram panah di bawah ini.

Dari kedua diagram di atas, sanggup ditentukan fungsi yang memetakan secara pribadi dari A ke C. Hal ini sanggup digambarkan dalam diagram diberikut.

Dari, diagram di atas diperoleh
f(a₁) = b₂ dan g(b₂) = c₂ sehingga (g o f) (a₁) = c₂
f(a₂) = b₁ dan g(b₁) = c₁ sehingga (g o f) (a₂) = c₁
f(a₃) = b₃dan g(b₃) = c₃ sehingga (g o f) (a₃) = c₃

Jika fungsi yang pribadi memetakan A ke C tersebut dianggap fungsi tunggal, yang sanggup ditetapkan dalam sebagai diberikut.

(g o f) (a₁) = c₂
(g o f) (a₂) = c₁
(g o f) (a₃) = c₃

Fungsi tunggal tersebut ialah fungsi komposisi dan dilambangkan dengan g o f dibaca "fungsi g bundaran f". Fungsi g o f ialah fungsi komposisi dengan f yang dikerjakan terlebih lampau lalu dilanjutkan dengan g. Sedangkan, untuk f o g "dibaca fungsi f bundaran g". Jadi, f o g ialah fungsi komposisi dengan g dikerjakan terlebih lampau daripada f. Fungsi komposisi yang melibatkan fungsi f dan g sanggup ditulis:

(g o f)(x) = g(f(x))
(f o g)(x) = f(g(x))

Sifat-Sifat Fungsi Komposisi

Dalam fungsi komposisi berlaku sifat-sifat sebagai diberikut
a. Dalam funsi komposisi tidak berlaku sifat komutatif, yaitu f o g ≠ g o f;
b. Jika I fungsi identitas maka berlaku : I o f = f o I = f;
c. Dalam fungsi komposisi berlaku sifat asosiatif, yaitu : f o (g o h) = (f o g) o h.

Untuk lebih memahami ihwal fungsi komposisi, pelajarilah tumpuan soal diberikut ini.

misal 1
Diketahui dua buah fungsi yang ditetapkan dengan rumus f(x) = 3x – 1 dan g(x) = x + 4. Tentukanlah nilai dari fungsi-fungsi komposisi diberikut.
a. (f o g)(x)
b. (g o f)(–2)

Penyelesaian
a. (f o g)(x) = f(g(x))
= f(x + 4)
= 3(x + 4) - 1
= 3x + 12 - 1
= 3x + 11
Jadi, (f o g)(x) = 3x + 11

Untuk jawabanan bab b, langkah pertama yang dilakukan ialah dengan memilih fungsi komposisi (g o f)(x)
b. (g o f)(x) = g(f(x))
= g(3x - 1)
= (3x - 1) + 4
= 3x + 3
Jadi, nilai (g o f)(–2) adalah
(g o f)(–2) = 3(-2) + 3 = -6 + 3 = -3

Fungsi Komposisi yang Melibatkan Tiga Fungsi

Untuk menyelesaiakan fungsi komposisi yang melibatkan tiga fungsi, sanggup dilakukan secara bertahap. misal diberikut mungkin sanggup memmenolong anda dalam memahami fungsi komposisi tersebut.

misal 2
Diketahui f(x) = x², g(x) = x - 1, dan h(x) = 3x. Tentukan (f o (g o h))(x)!
Penyelesaian
Untuk menyelesaiakan soal ini, sanggup dilakukan dengan bertahap.
(g o h)(x) = g(h(x))
= g(3x)
= 3x - 1
(g o h)(x) = 3x - 1

(f o (g o h))(x) = f(g(h(x)))
= f(3x - 1)
= (3x - 1)²
= 9x² - 6x + 1
Jadi, (f o (g o h))(x) = 9x² - 6x + 1

Menentukan Fungsi Awal, Jika Diketahui Fungsi Komposisinya

Dua tumpuan diberikut, akan mengulas terkena bagaimana cara menyelesaiakan soal yang fungsi komposisinya diketahui dan salah satu fungsi awalnya tidak diketahui (ditanya). Berikut ini ialah tumpuan soalnya.

misal 3
Jika diketahui, (f o g)(x) = 6x + 3 dan f(x) = 2x - 3. Tentukanlah g(x)!
Penyelesaian
(f o g)(x) = 6x + 3
f(g(x)) = 6x + 3
2g(x) - 3 = 6x + 3
2g(x) = 6x + 6
g(x) = 3x + 3
Jadi, g(x) = 3x + 3

misal 4
Jika diketahui, (f o g)(x) = 2x + 6 dan g(x) = x + 1. Tentukanlah f(x)!
Penyelesaian
(f o g)(x) = 2x + 6
f(g(x)) = 2x + 6
f(x + 1) = 2x + 2 + 4
f(x + 1) = 2(x + 1) + 4
Sehingga,
f(x) = 2x + 4
Jadi, f(x) = 2x + 4

Fungsi Komposisi yang Melibatkan Fungsi dalam Himpunan Pasangan Berurutan

Jika biasanya fungsi yang dipakai dalam bentuk rumus fungsi, dalam tumpuan diberikut akan disajiakan fungsi komposisi melibatkan fungsi yang ditetapkan dalam himpunan pasangan berurutan.

misal 5
Diketahui fungsi p dan q yang ditulis dalan himpunan pasangan berurutan sebagai diberikut.
p = {(2, 4), (3, 6), (4, 4), (5, 2), (6, 3)}
q = {(2, 5), (3, 2), (4, 2), (5, 3), (6, 4)}
Tentukan
a. (p o q)
b. (p o q)(3)
c. (q o p)(1)
Penyelesaian
Untuk menuntaskan soal a, ingat bahwa (p o q) artinya q dikerjakan terlebih lampau lalu p. Misalkan, anggota q yaitu (2, 5) ini berarti peta dari 2 ialah 5, lalu 5 dipetakan lagi dalam p yaitu 2. Sehingga diperoleh pasangan gres dari fungsi komposisi tersebut yaitu (2, 2). Teknik yang sama berlaku juga untuk yang lainya
a. (p o q) = {(2, 2), (3, 4), (4, 4), (5, 6), (6, 4)}
b. (p o q)(3) = 4
c. (q o p)(1) = tak terdefinisi