Persamaan Parabola Dengan Puncak Di O(0, 0)
Istilah parabola sudah tidak absurd lagi ditelinga kita. Masyarakat umum mungkin lebih mengenal parabola sebagai sebuah antena. Antena parabola gotong royong ialah antena yang berbentuk parabola. dan parabola sendiri dalam matematika dikenal sebagai daerah kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu sama dengan jaraknya ke garis tertentu. Titik tertentu itu disebut titik api atau titik serius (focus) dan garis tertentu itu disebut garis arah atau direktriks (directrix) dari suatu parabola. Berikut ialah teladan gambar parabola
Dari gambar di atas garis yang melalui titik serius dan tegak lurus direktriks g disebut sumbu simetri parabola. Sumbu simetri memotong para bola pada puncaknya. Sedangkan garis yang melalui titik serius dan tegak lurus sumbu simetri dan memotong parabola pada dua titik disebut dengan latus rectum
Berdasarkan titik puncaknya parabola sanggup dibedakan menjadi dua yaitu parabola dengan puncak di O (0, 0) dan para bola dengan sentra di A (a, b). Pada bahasan kali ini akan dibahas terkena parabola dengan klimaks di O (0, 0) saja.
Parabola di atas ialah parabola dengan klimaks di O(0, 0) dengan sumbu simetri diberimpit dengan sumbu x. Fokus parabola berada pada titik F(p, 0) dan persamaan direktriksnya ialah x = -p. Misalkan titik P(x, y) ialah sembarag titik yang berada pada para bola. Maka, menurut definisi parabola berlaku
Jarak PF = jarak PM
Jarak PF = $\sqrt{(x - p)^2 + (y - 0)^2}$ = $\sqrt{(x - p)^2 + y^2}$
Jarak PM = |x + p|
Sehinga diperoleh
$\sqrt{(x - p)^2 + y^2}$ = |x + p|
$(\sqrt{(x - p)^2 + y^2})^2$ = $(x + p)^2$
$((x - p)^2 + y^2)^2$ = $x^2 + 2px + p^2$
$x^2 - 2px + p^2 + y^2$ = $x^2 + 2px + p^2$
$y^2$ = $4px$
melaluiataubersamaini demikian persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan serius di F(p, 0) adalah
$y^2$ = $4px$
Persamaan parabola di atas, membentuk parabola mendatar (horisontal) yang terbuka ke kanan.
melaluiataubersamaini cara yang sama kita juga sanggup memilih persamaan parabola lainnya diantaranya
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan serius di F(-p, 0)
$y^2$ = $-4px$
Persamaan parabola ini bila digambarkan, maka akan terbentuk parabola mendatar (parabola horisontal) yang terbuka ke kiri
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan serius F(0, p)
$x^2$ = $4py$
Persamaan parabola ini bila digambarkan, maka akan terbentuk parabola tegak (parabola vertikal) yang terbuka ke atas
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan serius F(0, -p)
$x^2$ = $-4py$
Persamaan parabola ini bila digambarkan, maka akan terbentuk parabola tegak (parabola vertikal) yang terbuka ke bawah
Keempat parabola tersebut sanggup digambarkan sebagai diberikut
Pada tiap persamaan di atas nilai p positif yang menyatakan jarak antara serius dengan puncak parabola. Agar lebih memahaminya perhatikan teladan soal diberikut
misal 1
Tentukan koordinat serius, persamaan direktriks, persamaan sumbu simetri, serta panjang latus rectum dari persamaan parabola diberikut
a. $y^2$ = $8x$
b. $x^2$ = $-16y$
Penyelesaian
a. $y^2$ = $8x$ atau $y^2$ = $4(2)x$
Diperoleh p = 2. Parabola dengan persamaan $y^2$ = $8x$ ialah parabola mendatar dan terbuka ke kanan
Fokus di F(2, 0)
Persamaan direktriks ialah x = -2
Persamaan sumbu simetri ialah sumbu x atau y = 0
Untuk memilih panjang latus rectumnya maka kita perlu memilih titik ujung-ujungnya yang berpotongan dengan parabola. Karena latus rectum melalui serius maka kita sanggup mensubstitusikan nilai x = 2 pada persamaannya
$y^2$ = $8(2)$
$y^2$ = $16$
$y$ = $\pm4$
melaluiataubersamaini demikian koordinat titik ujung-ujungya (2, 4) dan (2, -4)
Jadi, latus rectumnya = 4 - (-4) = 8 (jarak ujung-ujungnya)
b. $x^2$ = $-16y$ atau $x^2$ = $-4(4)y$
Diperoleh p = 4. Parabola dengan persamaan $x^2$ = $-16y$ ialah parabola vertikal dan terbuka ke bawah
Fokus di F(0, -4)
Persamaan direktriks ialah x = 4
Persamaan sumbu simetri ialah sumbu y atau x = 0
Substitusikan nilai y = -4 pada persamaannya
$x^2$ = $-16(-4)$
$x^2$ = $64$
$x$ = $\pm8$
melaluiataubersamaini demikian koordinat titik ujung-ujungya (8, -4) dan (-8, -4)
Jadi, latus rectumnya = 8 - (-8) = 16
misal 2
Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0, 0) dengan serius F(-3, 0)!
Penyelesaian
Karena seriusnya di F(-3, 0), maka p = 3 dan ialah parabola horisontal yang terbuka ke kiri
$y^2$ = $-4px$
$y^2$ = $-4(3)x$
$y^2$ = $-12x$
Jadi, persamaan parabolanya ialah $y^2$ = $-12x$
Berdasarkan titik puncaknya parabola sanggup dibedakan menjadi dua yaitu parabola dengan puncak di O (0, 0) dan para bola dengan sentra di A (a, b). Pada bahasan kali ini akan dibahas terkena parabola dengan klimaks di O (0, 0) saja.
Persamaan Parabola dengan titik Puncak di O (0, 0)
Perhatikan gambar diberikut!
Jarak PF = jarak PM
Jarak PF = $\sqrt{(x - p)^2 + (y - 0)^2}$ = $\sqrt{(x - p)^2 + y^2}$
Jarak PM = |x + p|
Sehinga diperoleh
$\sqrt{(x - p)^2 + y^2}$ = |x + p|
$(\sqrt{(x - p)^2 + y^2})^2$ = $(x + p)^2$
$((x - p)^2 + y^2)^2$ = $x^2 + 2px + p^2$
$x^2 - 2px + p^2 + y^2$ = $x^2 + 2px + p^2$
$y^2$ = $4px$
melaluiataubersamaini demikian persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan serius di F(p, 0) adalah
$y^2$ = $4px$
Persamaan parabola di atas, membentuk parabola mendatar (horisontal) yang terbuka ke kanan.
melaluiataubersamaini cara yang sama kita juga sanggup memilih persamaan parabola lainnya diantaranya
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan serius di F(-p, 0)
$y^2$ = $-4px$
Persamaan parabola ini bila digambarkan, maka akan terbentuk parabola mendatar (parabola horisontal) yang terbuka ke kiri
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan serius F(0, p)
$x^2$ = $4py$
Persamaan parabola ini bila digambarkan, maka akan terbentuk parabola tegak (parabola vertikal) yang terbuka ke atas
Persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) dan serius F(0, -p)
$x^2$ = $-4py$
Persamaan parabola ini bila digambarkan, maka akan terbentuk parabola tegak (parabola vertikal) yang terbuka ke bawah
Keempat parabola tersebut sanggup digambarkan sebagai diberikut
misal 1
Tentukan koordinat serius, persamaan direktriks, persamaan sumbu simetri, serta panjang latus rectum dari persamaan parabola diberikut
a. $y^2$ = $8x$
b. $x^2$ = $-16y$
Penyelesaian
a. $y^2$ = $8x$ atau $y^2$ = $4(2)x$
Diperoleh p = 2. Parabola dengan persamaan $y^2$ = $8x$ ialah parabola mendatar dan terbuka ke kanan
Fokus di F(2, 0)
Persamaan direktriks ialah x = -2
Persamaan sumbu simetri ialah sumbu x atau y = 0
Untuk memilih panjang latus rectumnya maka kita perlu memilih titik ujung-ujungnya yang berpotongan dengan parabola. Karena latus rectum melalui serius maka kita sanggup mensubstitusikan nilai x = 2 pada persamaannya
$y^2$ = $8(2)$
$y^2$ = $16$
$y$ = $\pm4$
melaluiataubersamaini demikian koordinat titik ujung-ujungya (2, 4) dan (2, -4)
Jadi, latus rectumnya = 4 - (-4) = 8 (jarak ujung-ujungnya)
b. $x^2$ = $-16y$ atau $x^2$ = $-4(4)y$
Diperoleh p = 4. Parabola dengan persamaan $x^2$ = $-16y$ ialah parabola vertikal dan terbuka ke bawah
Fokus di F(0, -4)
Persamaan direktriks ialah x = 4
Persamaan sumbu simetri ialah sumbu y atau x = 0
Substitusikan nilai y = -4 pada persamaannya
$x^2$ = $-16(-4)$
$x^2$ = $64$
$x$ = $\pm8$
melaluiataubersamaini demikian koordinat titik ujung-ujungya (8, -4) dan (-8, -4)
Jadi, latus rectumnya = 8 - (-8) = 16
misal 2
Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0, 0) dengan serius F(-3, 0)!
Penyelesaian
Karena seriusnya di F(-3, 0), maka p = 3 dan ialah parabola horisontal yang terbuka ke kiri
$y^2$ = $-4px$
$y^2$ = $-4(3)x$
$y^2$ = $-12x$
Jadi, persamaan parabolanya ialah $y^2$ = $-12x$
misal 3
Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di O(0, 0) dengan serius pada sumbu Y dan melalui titik (-6, 2)!
Penyelesaian
Karena seriusnya pada sumbu Y dan melalui titik (-6, 2), maka ialah parabola vertikal yang terbuka ke atas
$x^2$ = $4py$
$(-6)^2$ = $4p(2)$
$16$ = $8p$
$4p$ = $\frac{16}{2}$
$4p$ = $8$
Sehingga,
$x^2$ = $8y$
Jadi, persamaan parabolanya ialah $x^2$ = $8y$
Nah, demikianlah terkena persamaan parabola dengan puncak di O(0, 0) beserta teladan soalnya. terkena persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b) akan dibahas pada artikel diberikutnya. Semoga bermanfaa.
0 Response to "Persamaan Parabola Dengan Puncak Di O(0, 0)"
Posting Komentar