Persamaan Parabola Dengan Puncak Di A (A, B)
Seperti yang sudah dijelaskan pada artikel sebelumnya, persamaan parabola sanggup ditentukan dengan mengetahui titik puncaknya. Titik puncaknya sanggup berada pada titik O(0, 0) atau sembarang titik lainnya, misalkan titik A(a, b). Untuk persamaan parabola yang berpuncak di O(0, 0) sanggup dipelajari pada artikel
[Baca: Persamaan Parabola dengan Puncak di O(0, 0)]
Sedangkan artikel kali ini akan mengulas terkena persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b)
Perhatikan gambar diberikut
Gambar di atas, ialah gambar parabola dengan puncak di A (a, b). Sumbu simetri dari parabola tersebut sejajar dengan sumbu-x yang persamaanya y = b. Titik serius (focus) dari parabola di atas berjarak p satuan dari kanan klimaks dengan demikian koordinat serius F menjadi (a + p, b). Sedangkan garis direktriks (directrix) sejajar sumbu-y dan berjarak p satuan di sebelah kiri klimaks dengan persamaan x = a - p atau x - a + p = 0. Persamaan parabola di atas sanggup ditentukan dengan cara diberikut.
Misalkan, titik P(x, y) merupaksn titik yang dilalui oleh suatu parabola maka
Jarak PF = Jarak PQ
$\sqrt{(x - a - p)^2 + (y - b)^2}$ = $|x - a + p|$
$\sqrt{(x - a - p)^2 + (y - b)^2}^2$ = $(x - a + p)^2$
$(x - a - p)^2 + (y - b)^2$ = $(x - a + p)^2$
$x^2 + a^2 + p^2$ $-2xa -2xp + 2ap$ $+ (y - b)^2$ = $x^2 + a^2 + p^2$ $-2xa +2xp - 2ap$
$-2xp + 2ap$ $+ (y - b)^2$ = $2xp - 2ap$
$(y - b)^2$ = $2xp - 2ap$ $+2xp - 2ap$
$(y - b)^2$ = $4xp - 4ap$
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
Persamaaan terakhir ialah persamaan parabola yang dicari. melaluiataubersamaini cara yang sama, kita sanggup juga memilih persamaan parabola lainnya. melaluiataubersamaini demikian, menurut arah terbukanya, kita sanggup membedakan persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b) menjadi empat, diantaranya:
Parabola horisontal (mendatar) yang terbuka ke kanan
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
Sumbu simetri parabola di atas y = b, titik serius F(a + p, b), dan persamaan direktriksnya yakni x = a - p
Parabola horisontal yang terbuka ke kiri
$(y - b)^2$ = $-4p(x - a)$
Sumbu simetri parabola di atas y = b, titik serius F(a - p, b), dan persamaan direktriksnya yakni x = a + p
Parabola vertikal (tegak) yang terbuka ke atas
$(x - a)^2$ = $4p(y - b)$
Sumbu simetri parabola di atas x = a, titik serius F(a, b + p), dan persamaan direktriksnya yakni y = b - p
Parabola vertikal yang terbuka ke bawah
$(x - a)^2$ = $-4p(y - b)$
Sumbu simetri parabola di atas x = a, titik serius F(a, b - p), dan persamaan direktriksnya yakni y = b + p
Perlu diingat bahwa pada tiap persamaan nilai p yakni kasatmata dan p ialah jarak serius dengan klimaks parabola. Untuk lebih jelasnya perhatikan rujukan soal diberikut
misal 1
Diketahui persamaan parabola $y^2 - 4y - 4x + 8$ = $0$, tentukan koordinat titik puncak, persamaan sumbu simetri, koordinat serius dan persamaan direktriksnya!
Penyelesaian
Agar megampangkan memilih unsur-unsur yang dicari, maka kita ubah persamaan parabola yang diketahui menjadi persamaan bakunya.
$y^2 - 4y$ = $- 4x + 8$
$y^2 - 4y + 4$ = $-4x + 8 + 4$
$(y - 2)^2$ = $-4x + 12$
$(y - 2)^2$ = $-4(x - 3)$
$(y - 2)^2$ = $-4(1)(x - 3)$
Dari persamaan terakhir, terlihat bahwa parabola ialah parabola horisontal yang terbuka ke kiri dengan p = 1
Titik puncaknya A(3, 2)
Persamaan sumbu simetri y = 2 (sejajar sumbu-x)
Koordinat serius F(a - p, b) = F(3 - 1, 2) = F(2, 2)
Persamaan direktriksnya x = a + p = 3 + 1 = 4 atau x = 4 (sejajar sumbu-y)
misal 2
Tentukan persamaan parabola yang mempunyai puncak di (2, 4) dan serius di (5, 4)
Penyelesaian
A(2, 4)
F(5, 4) ini berarti p = 5 - 2 = 3
Persamaan para bola, ialah parabola horisontal terbuka ke kanan. Sehingga
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
$(y - 4)^2$ = $4(3)(x - 2)$
$(y - 4)^2$ = $12(x - 2)$
Jadi, persamaan parabolanya yakni $(y - 4)^2$ = $12(x - 2)$
misal 3
Tentukan persmaan parabola yang berpuncak di (2, -3) dan melalui titik (0, -5) dengan sumbu simetri sejajar dengan sumbu-y!
Penyelesaian
Parabola berpuncak di (2, -3) dan melalui titik (0, -5) dengan sumbu simetri sejajar dengan sumbu-y, ini berarti parabola ialah parabola vertikal terbuka ke bawah
$(x - a)^2$ = $-4p(y - b)$
$(x - 2)^2$ = $-4p(y - (-3))$
$(x - 2)^2$ = $-4p(y + 3)$
Parabola melalui titik (0, -5) maka diperoleh
$(0 - 2)^2$ = $-4p(-5 + 3)$
$4$ = $-4p(-2)$
$4$ = $8p$
$p$ = $\frac{4}{8}$
$p$ = $\frac{1}{2}$
Sehingga persamaan parabolanya
$(x - 2)^2$ = $-4\frac{1}{2}(y + 3)$
$(x - 2)^2$ = $-2(y + 3)$
Jadi, persamaan parabolanya yakni $(x - 2)^2$ = $-2(y + 3)$
Demikianlah terkena persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b). Semoga bermanfaa
[Baca: Persamaan Parabola dengan Puncak di O(0, 0)]
Sedangkan artikel kali ini akan mengulas terkena persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b)
Perhatikan gambar diberikut
Gambar di atas, ialah gambar parabola dengan puncak di A (a, b). Sumbu simetri dari parabola tersebut sejajar dengan sumbu-x yang persamaanya y = b. Titik serius (focus) dari parabola di atas berjarak p satuan dari kanan klimaks dengan demikian koordinat serius F menjadi (a + p, b). Sedangkan garis direktriks (directrix) sejajar sumbu-y dan berjarak p satuan di sebelah kiri klimaks dengan persamaan x = a - p atau x - a + p = 0. Persamaan parabola di atas sanggup ditentukan dengan cara diberikut.
Misalkan, titik P(x, y) merupaksn titik yang dilalui oleh suatu parabola maka
Jarak PF = Jarak PQ
$\sqrt{(x - a - p)^2 + (y - b)^2}$ = $|x - a + p|$
$\sqrt{(x - a - p)^2 + (y - b)^2}^2$ = $(x - a + p)^2$
$(x - a - p)^2 + (y - b)^2$ = $(x - a + p)^2$
$x^2 + a^2 + p^2$ $-2xa -2xp + 2ap$ $+ (y - b)^2$ = $x^2 + a^2 + p^2$ $-2xa +2xp - 2ap$
$-2xp + 2ap$ $+ (y - b)^2$ = $2xp - 2ap$
$(y - b)^2$ = $2xp - 2ap$ $+2xp - 2ap$
$(y - b)^2$ = $4xp - 4ap$
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
Persamaaan terakhir ialah persamaan parabola yang dicari. melaluiataubersamaini cara yang sama, kita sanggup juga memilih persamaan parabola lainnya. melaluiataubersamaini demikian, menurut arah terbukanya, kita sanggup membedakan persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b) menjadi empat, diantaranya:
Parabola horisontal (mendatar) yang terbuka ke kanan
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
Sumbu simetri parabola di atas y = b, titik serius F(a + p, b), dan persamaan direktriksnya yakni x = a - p
Parabola horisontal yang terbuka ke kiri
$(y - b)^2$ = $-4p(x - a)$
Sumbu simetri parabola di atas y = b, titik serius F(a - p, b), dan persamaan direktriksnya yakni x = a + p
Parabola vertikal (tegak) yang terbuka ke atas
$(x - a)^2$ = $4p(y - b)$
Sumbu simetri parabola di atas x = a, titik serius F(a, b + p), dan persamaan direktriksnya yakni y = b - p
Parabola vertikal yang terbuka ke bawah
$(x - a)^2$ = $-4p(y - b)$
Sumbu simetri parabola di atas x = a, titik serius F(a, b - p), dan persamaan direktriksnya yakni y = b + p
Perlu diingat bahwa pada tiap persamaan nilai p yakni kasatmata dan p ialah jarak serius dengan klimaks parabola. Untuk lebih jelasnya perhatikan rujukan soal diberikut
misal 1
Diketahui persamaan parabola $y^2 - 4y - 4x + 8$ = $0$, tentukan koordinat titik puncak, persamaan sumbu simetri, koordinat serius dan persamaan direktriksnya!
Penyelesaian
Agar megampangkan memilih unsur-unsur yang dicari, maka kita ubah persamaan parabola yang diketahui menjadi persamaan bakunya.
$y^2 - 4y$ = $- 4x + 8$
$y^2 - 4y + 4$ = $-4x + 8 + 4$
$(y - 2)^2$ = $-4x + 12$
$(y - 2)^2$ = $-4(x - 3)$
$(y - 2)^2$ = $-4(1)(x - 3)$
Dari persamaan terakhir, terlihat bahwa parabola ialah parabola horisontal yang terbuka ke kiri dengan p = 1
Titik puncaknya A(3, 2)
Persamaan sumbu simetri y = 2 (sejajar sumbu-x)
Koordinat serius F(a - p, b) = F(3 - 1, 2) = F(2, 2)
Persamaan direktriksnya x = a + p = 3 + 1 = 4 atau x = 4 (sejajar sumbu-y)
misal 2
Tentukan persamaan parabola yang mempunyai puncak di (2, 4) dan serius di (5, 4)
Penyelesaian
A(2, 4)
F(5, 4) ini berarti p = 5 - 2 = 3
Persamaan para bola, ialah parabola horisontal terbuka ke kanan. Sehingga
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
$(y - 4)^2$ = $4(3)(x - 2)$
$(y - 4)^2$ = $12(x - 2)$
Jadi, persamaan parabolanya yakni $(y - 4)^2$ = $12(x - 2)$
misal 3
Tentukan persmaan parabola yang berpuncak di (2, -3) dan melalui titik (0, -5) dengan sumbu simetri sejajar dengan sumbu-y!
Penyelesaian
Parabola berpuncak di (2, -3) dan melalui titik (0, -5) dengan sumbu simetri sejajar dengan sumbu-y, ini berarti parabola ialah parabola vertikal terbuka ke bawah
$(x - a)^2$ = $-4p(y - b)$
$(x - 2)^2$ = $-4p(y - (-3))$
$(x - 2)^2$ = $-4p(y + 3)$
Parabola melalui titik (0, -5) maka diperoleh
$(0 - 2)^2$ = $-4p(-5 + 3)$
$4$ = $-4p(-2)$
$4$ = $8p$
$p$ = $\frac{4}{8}$
$p$ = $\frac{1}{2}$
Sehingga persamaan parabolanya
$(x - 2)^2$ = $-4\frac{1}{2}(y + 3)$
$(x - 2)^2$ = $-2(y + 3)$
Jadi, persamaan parabolanya yakni $(x - 2)^2$ = $-2(y + 3)$
Demikianlah terkena persamaan parabola yang berpuncak di A(a, b). Semoga bermanfaa
0 Response to "Persamaan Parabola Dengan Puncak Di A (A, B)"
Posting Komentar