Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor Lain

Sebelum mempelajari proyeki suatu ortogonal suatu vektor pada vektor lain,  ada baiknya kita mengingat kembali terkena perkalian skalar dua vektor. Hal ini sangat penting alasannya yaitu bahan yang akan dibahas kali ini ialah aplikasi dari bahan perkalian skalar dua vektor.

melaluiataubersamaini memakai definisi perkalian skalar, selanjutnya sanggup ditentukan 

Proyeksi Skalar Ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal sering disingkat dengan proyeksi skalar atau sanggup dikatakan sebagai panjang proyeksi vektor. Misalkan terdapat vektor $\overrightarrow{a}$ dan vektor $\overrightarrow{b}$, proyeksi skalar ortogonal dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ adalah |$\overrightarrow{c}$|, dengan |$\overrightarrow{c}$| sanggup ditentukan dengan rumus:

|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$

Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal dan pembahasan proyeksi skalar ortogonal diberikut.

misal 1

Diketahui vektor $\overrightarrow{a}$ = $\begin{pmatrix}
2 \\ 1

\end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}$ = $ \begin{pmatrix}
3 \\ 4

\end{pmatrix}$ adalah vektor-vektor di R2 yang disajikan dalam bentuk kolom. Tentukan proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ serta proyeksi skalar vektor $\overrightarrow{b}$ pada arah vektor $\overrightarrow{a}$!

Penyelesaian:

Proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$

|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$

|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{2\times3 + 1\times4}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$

|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{6 + 4}{\sqrt{9 + 16}}$
|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{10}{5}$

|$\overrightarrow{c}$| = $2$

Proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{b}$ pada arah vektor $\overrightarrow{a}$ (kita sebut dengan |$\overrightarrow{d}$|)

|$\overrightarrow{d}$| = $\frac{\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{b}|}$

|$\overrightarrow{d}$| = $\frac{2\times3 + 1\times4}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$

|$\overrightarrow{d}$| = $\frac{6 + 4}{\sqrt{4 + 1}}$

|$\overrightarrow{d}$| = $\frac{10}{\sqrt{5}}$

|$\overrightarrow{d}$| = $2\sqrt{5}$ (dirasionalkan)

misal 2

Diketahui vektor $\overrightarrow{a}$ = $\begin{pmatrix}
2\\ -6
\\ -3

\end{pmatrix}$ dan $\overrightarrow{b}$ = $\begin{pmatrix}
2\\ 1
\\ -2

\end{pmatrix}$ adalah vektor-vektor di R3 yang disajikan dalam bentuk kolom. Tentukan proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$!

Penyelesaian

Proyeksi skalar dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$

|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$

|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{2\times2 + (-6)\times1 + (-3)\times(-2)}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}}$

|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{4 - 6 + 6}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$

|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{4}{\sqrt{9}}$

|$\overrightarrow{c}$| = $\frac{4}{3}$

Proyeksi Vektor Ortogonal

Proyeksi vektor ortogonal ortogonal dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ yaitu |$\overrightarrow{c}$|, dengan |$\overrightarrow{c}$| sanggup ditentukan dengan rumus:

$\overrightarrow{c}$ = $\left(\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}\right) \overrightarrow{b}$
Agar lebih memahaminya diberikut akan disajikan pola soal beserta pembahasanya

misal 3

Diketahui vektor $\overrightarrow{a}$ = 2$\overrightarrow{i}$ - 3$\overrightarrow{j}$ + 6$\overrightarrow{k}$ dan vektor $\overrightarrow{b}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + 2$\overrightarrow{j}$ + $\overrightarrow{k}$. Tentukan proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{a}$ pada $\overrightarrow{b}$!

Penyelesaian

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ = $2\times2 + (-3)\times2 + 6\times1$ = $4$ 

|$\overrightarrow{b}$|$^2$ = $(\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2})^2$ =$9$

$\overrightarrow{c}$ = $\left(\frac{\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}\right) \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{c}$ = $\frac{4}{9} (2\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k})$

$\overrightarrow{c}$ = $ (\frac{8}{9}\overrightarrow{i} + \frac{8}{9}\overrightarrow{j} + \frac{4}{9}\overrightarrow{k})$

Dalam beberapa soal, tidak usah resah suatu vektor sanggup ditetapkan dalam vektor baris, vektor kolom maupun vektor satuan. Pada dasarnya bagaimanapun vektor itu dituliskan cara penyelesaianya yaitu sama. 

misal 4

Diketahui titik-titik A(1, 2, 2), B(0, 1, 0), dan C(2, -1, -1). Tentukan proyeksi vektor ortogonal dari $\overrightarrow{AB}$ pada $\overrightarrow{AC}$

Penyelesaian
$\overrightarrow{AB}$ = $\begin{pmatrix}
0 - 1\\ 1 - 2
\\ 0 - 2

\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
-1\\ -1
\\ -2


\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC}$ = $\begin{pmatrix}
2 - 1\\ -1 - 2
\\ -1- 2


\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
1\\ -3
\\ -3


\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ = $(-1)\times1 + (-1)\times(-3) + (-2)\times(-3)$ = $8$
|$\overrightarrow{b}$|$^2$ = $(\sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-3)^2})^2$ =$19$
proyeksi vektor ortogonal dari $\overrightarrow{AB}$ pada $\overrightarrow{AC}$ adalah
$\overrightarrow{c}$ = $\left(\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|^2}\right) \overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{c}$ = $\frac{8}{19} \begin{pmatrix}
1\\ -3
\\ -3

\end{pmatrix}$

Demikianlah terkena proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain biar sanggup dipahami dan bermanfaa.

Tweet

Subscribe to receive free email updates: