Penggunaan Turunan Untuk Memilih Persamaan Garis Singgung Kurva

Materi turunan sanggup dipakai untuk menetukan persamaan garis singgung kurva, fungsi naik dan turun, serta nilai stasioner suatu fungsi. Pada bahasan kali ini, akan serius mengulas terkena penerapan turunan untuk memilih persamaan garis singgung kurva. Namun, sebelum melangkah lebih jauh ada baiknya sebelum mempelajari bahan ini pastikan anda sudah menguasai bahan turunan fungsi aljabar serta bahan persamaan garis lurus.

Nah, kini coba perhatikan gambar grafik fungsi $y = f(x)$ di bawah ini. Titik P ialah titik tetap yang terletak pada kurva $y = f(x)$, sedangkan titik Q ialah titik yang bergerak sepanjang kurva. Garis yang melalui titik P dan Q disebut dengan tali busur. Apabila titik Q mendekati P maka garis PQ akan menjadi garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik P. Makara garis singgung di titik P ialah keadaan limit dari tali busur PQ saat titik Q bergerak mendekati P.

Gambar diberikutnya, ialah keadaan dimana titik Q mendekati P. Misalkan titik P memiliki absis di $a$ dan Q memiliki absis di $a + h$. Maka, ordinat titik P ialah $f(a)$ dan ordinat titik Q ialah $f(a + h)$.

Apabila $h$ mendekati 0, maka titik Q akan mendekati P. Agar simpel dipahami, saat titik Q yang paling bersahabat dengan P diganti dengan S. Sehingga PS ialah garis singgung kurva. Gradien garis PS sanggup ditentukan dengan

$m = lim_{h \to 0}\frac {f(a + h) - f(a)}{h}$

$m = f'(a)$

melaluiataubersamaini demikian, untuk sembarang P yang terletak pada kurva $y = f(x)$ dengan koordinat $(x, f(x))$ rumus sebelumnya sanggup diperluas menjadi

$m = lim_{h \to 0}\frac {f(x + h) - f(x)}{h}$

$m = f'(x)$

melaluiataubersamaini bahasa yang lebih gampang, turunan dari $y = f(x)$ ialah gradien garis singgung kurva di titik $(x, f(x)$. Untuk lebih jelasnya perhatikan teladan soal dan pembahasanya diberikut ini.

misal 1

Tentukanlah gradien garis singgung kurva $y = x^2 + x$ di titik (-2, 2)!

Penyelesaian

$f'(x) = 2x + 1$

$m = f'(x)$

$m = f'(-2)$

$m = 2(-2) + 1$

$m = -3$

Dalam beberapa soal, tidak spesialuntuk gradien yang diminta namun sering kali kita juga diminta untuk memilih persamaan garisnya. Untuk menetukan persamaan gari yang bergradien $m$ dan melalui titi $(x_1, y_1)$ sanggup memakai rumus

$y - y_1 = m(x - x_1)$

Nah, kini perhatikan teladan soal yang memuat uraian di atas diberikut ini

misal 2

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva $y = 2 - 4x^2$ di titik (1, -2)!

Penyelesaian

$f'(x) = -8x$

$m = -8(1)$

$m = -8$

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y + 2 = -8(x - 1)$

$y + 2 = -8x + 8$

$y = -8x + 6$

Jadi, persamaan garis singgung kurvanya adalah $y = -8x + 6$

misal 3

Persamaan garis singgung kurva $y = x^2 - 4x + 8$ dengan absis di x = -1 ialah ...

Penyelesaian

$f'(x) = 2x - 4$

$m = 2(-1) - 4$

$m = -6$

Untuk memilih persamaan garis diharapkan koordinat dari titik yang dilalui garis singgung. Dalam hal ini titik singgung garis dan kurba sanggup digunakan. Untuk absis di x = -1 ordinat titik singgungnya adalah

$y = (-1)^2 - 4(-1) + 8$

$y = 1 + 4 + 8$

$y = 13$

Sehingga diperoleh titik singgung (-1, 13)

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 13 = -6(x - (-1))$

$y = -6x - 6 + 13$

$y = -6x + 7$

misal 4

Tentukan koordinat titik pada kurva $y = x^2 – 5$, sehingga garis singgung kurva di titik itu memiliki gradien 4!

Penyelesaian

Untuk meneylesaikan soal di atas maka, langkah pertama yang kita lakukan ialah memilih turunan dari kurva

$f'(x) = 2x$

$m = f'(x)$

$4 = 2x$

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Kemudian kita tentukan ordinat titik singgunynya

$y = x^2 – 5$

$y = 2^2 – 5$

$y = 4 – 5$

$y = -1$

Jadi, koordinat titik yang dimaksud ialah (2, -1)

misal 5

Temukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = x^2 – 3x + 3$, yang tegak lurus $y = x + 6$!

Penyelesaian

Soal di atas sangat erat sekali hubungannya dengan bahan persamaan garis lurus, maka sangat dimasukankan untuk mengingat kembali bahan tersebut. Langkah pertama yang dilakukan untuk menuntaskan misal Soal 5 ialah memilih gradien garis $y = x + 6$ yang kita sebut dengan $m_1$

$m_1 = 1$

Karena garis singgung tegak lurus garis $y = x + 6$ maka gradien garis singgung kurva $m_2$ sanggup ditentukan dengan

$m_2 = - \frac{1}{m_1} = -\frac{1}{1} = -1$

Langkah diberikutnya, dilanjutkan dengan memilih titik singgung antara garis dan kurva yaitu

$m = f'(x)$

$-1 = 2x - 3$

$-1 + 3 = 2x$

$2 = 2x$

$x = 1$

$y = x^2 – 3x + 3$

$y = 1^2 – 3(1) + 3$

$y = 1 – 3 + 3$

$y = 1$

Langkah terakhir ialah memilih persamaan garis singgung yang dicari 

$y - y_1 = m_2 (x - x_1)$

$y - 1 = (-1)(x - 1)$

$y = -x + 1 + 1$

$y = -x + 2$

Jadi, persamaan garis singgung yag dicari adalah $y = -x + 2$

Demikianlah terkena penerapan turunan untuk memilih persamaan garis singgung kurva. Untuk penerapan turunan lainnya akan dibahas pada artikel lainnya. Semoga sanggup dipahami dan bermanfaa.

Tweet

Subscribe to receive free email updates: